探究分类讨论思想在初中数学教学中的运用

吴明东

摘 要：分类讨论思想是现代各学科教学中一种重要的解决问题的方法和思路，也是现代科学研究处理复杂问题的有效途径之一。因此，提高分类讨论思想的引导，让学生尽早掌握分类讨论思想的运用技巧和优势，对于培养高素质人才有着重要意义。

关键词：分类讨论 初中数学学习思想

一、常见分类思想运用领域

解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想。从数学概念、性质、定理以及公式的限制条件进行讨论。

1.在初中的数学课程中，有许多数学概念是分类进行定义的。比如实数的绝对值是否大于本身，所以应用此类概念进行解题时，就需要进行分类讨论。

2.同时，一些定理、公式等数学内容也有分情况予以表述的，或者有特定的适用范围，比如二次曲线函数的最大值和最小值问题，在运用此类定理、公式解题时，一定要注意分类进行讨论，让学生领会定理、公式的适用范围。

3.每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由数学解题中的思考----分类讨论思想的应用。

4.除此以外，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

二、分类讨论的原则

分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则

1.同一性原则

分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象。例如有些同学认为实数可以分为正数、负数、整数、分数、和零。这样的分类是错误的，犯了标准不同的错误。分类标准不统一，必定会导致分类结果的错误。

2.互斥性原则

分类后的每一个子类应该彼此独立互不相容的，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类就违背了互斥性原则。

3.完整性原则

分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。

4.多层性原则

分类讨论应该逐级有序的进行，分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数。

三、分类讨论的应用

我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：

（1）先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围

（2）正确选择分类的标准，进行合理的分类

（3）逐类讨论解决

（4）归纳并作出结论

下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：

例如：试比较1+a与1-a的大小。

分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断：

①a>b即a-b>0

②a=b即a-b=0

③a

解：作差（1+a）-（1-a）=2a

分类讨论：

①当a>0时，2a>0，即（1+a）-（1-a）>0，即1+a>1-a

②当a=0时，2a=0，即（1+a）-（1-a）=0，即1+a=1-a

③当a<0时，2a<0，即（1+a）-（1-a）<0，即1+a<1-a

答：当a>0时，1+a>1-a；

当a=0时，1+a=1-a；

当a<0时，1+a<1-a。

例如：已知△ABC周长为20cm，AB=AC其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？

解：设AB=AC=x

①当AB=2BC时，BC=0.5x据题意，列x+x+0.5x=20，解得x=8cm，则BC=0.5x=4cm

②当BC=2AB时，BC=2x据题意，列x+x+2x=20，解得x=5cm则BC=2x=10cm

检验：当AB=2BC时，三边长为8cm，8cm，4cm，可组成三角形；当BC=2AB时，三边长为5cm，5cm，10cm，不可组成三角形，舍。

答：BC长为4cm

学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解.分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。

例如：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？

分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论

解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时

依题意列方程x﹢x﹢4x=180解得x=30，底角等于30度

（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时

依题意列方程4x﹢4x﹢x=180解得x=20，底角等于80度，综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加強数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。分类讨论思想贯穿中学整个数学课程的始末，充分发挥分类讨论思想的优势，可以将复杂的问题大大简化，不仅有助于提升学生的学习效率，还有助于培养的数学思维能力。