数列极限求解方法与技巧探讨

陈忻锴

【摘要】本文从多个角度出发，全面地探索了定义证明法、单调性有界法、泰勒公式求解法以及柯西收敛准则法等多种不同有效的数列极限求解方法，旨在为高等数学的学习提供更多的可行性参考，提高高等数学学习能力。

【关键词】数列 极限求解 单调性

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）49-0119-02

一、定义证明法

定义证明法是解决高等数学当中数列极限求解问题的基本方法。高等数学当中的数列极限定义为“设{xn}为实数数列，a为定数。那么，对于任何给定的正数ε，总有正整数N，使当limxn=a或者xn→a，其中n→∞。”[1]，可以通过这一定义证明数列的极限。

例1：设xn>0，并且limxn=a，a>0（n→∞），求证lim = （n→∞）

解：∵limxn=a，∴？坌ε>0。∵当n>N时，有|xn-a|<ε，此时， = ε< ε，∴lim = 。

二、单调性有界定理法

除了应用定义法进行数列极限求解之外，单调性有界定理同样也是证明极限存在的一项有效方法。根据单调性有界定理可以得出，单调性递增有上界或者单调性递减有下界时，数列必定存在着极限值。利用单调性有界定理对数列的极限进行证明时，只能证明该数列的存在性，但是若想进一步求出数列的解，需要结合方程思想。

例2：数列y1= ，y2= ，y3= ，…yn= ，其中a>0，证明数列{yn}收敛。

解：根据已知条件可以得出，数列yn属于单调递增数列，因此，只需要证明yn有上界，就可以得出数列{yn}收敛。由已知条件得出，y

根据前文提出的论据可以得出，若想要在证明数列极限之后，进一步分析出limyn=1，（n→∞），可以利用方程1 =1+a，求出满足条件的1即可得出最终的结果。

三、泰勒公式求解法

在对数列的极限进行计算的过程中，可以应用到泰勒公式。根据归结原则，将数列的极限转化为函数的极限，之后，根据泰勒公式或者是麦克劳林展开式，替代数列当中的部分函数。此种方式可以达到简化计算程序的目的。根据之前数列极限求解的表达公式，以及给定的极限，为后续的计算工作提供便利。在具体的操作和计算环节中，需要充分地关注到展开式的项数确定，并且要注意分子与分母无穷小的阶数。通过化简表达式的方式，完成无穷小阶数的计算。

例3：计算lim ，其中n→∞。

解：原式= =- π 。

四、柯西收敛准则法

柯西收敛准则是判断数列是否具有收敛性的重要标准之一。当推导出的数列具有单调性，但是不能明确地判断单调性正确与否时，可以应用此种方法。柯西收敛准则的优势在于，计算的过程不需要完全地依赖极限定义当中的极限值。在应用柯西收敛准则时，只需要根据数列本身具有的特征，就可以对数列的收敛还是发散性特征进行判断。

例4：xn= ，其中数列{pn}与{qn}均满足qn+1=pn+qn，并且p1=q1=1，pn+1=pn+2qn，计算limxn，其中n→∞。

解：因为x1+ =1，xn+1= = =1+ =1+ >1，

所以，|xn+1-xn|= < < →0，其中n→∞。

根据柯西收敛准则可以得出，当数列{an}收敛时，limxn=A，那么数列的两边取极限值，可以得出A=± ，因为xn≥1，所以A= ，所以limxn= 。在应用此种方法对数列的极限证明并且求解极限值时，还可以结合常系数线性递推公式等方法。通过将一种或者多种数列求解的方法相互结合，有利于提升高等数学当中数列极限求解的效率。在实际的学习和研究过程中，学生需要在教师的指导和帮助下，积极地分析出不同数列极限求解方法的适应情况，在不同的问题当中，选择最适合的数列极限求解方法，不仅可以提升问题的解决的效率，而且还能提高最终结果的准确度。

總结

综上所述，通过系统地分析和研究了集中不同的数列极限求解方法，本人不仅锻炼了综合性的数学思维，而且还提升了从多个角度思考和解决问题的能力。数列极限求解不仅对高等数学学习和研究工作有重大帮助，而且对于本人在学习其他学科时，也具有积极的指导作用。通过利用批判性思维以及求索精神，期望能够在今后的学习和生活中，发现更多未知的知识，为日常学习和生活带去积极的影响。

参考文献：

[1]廖红菊.求无穷多项和或积的极限之方法与技巧[J].数学学习与研究，2012（23）：91-92.