利用APOS理论透视无理数的概念教学

张梦婷 刘云

摘 要 概念是学好数学的基础，而对概念的理解则是教学中的重点。以人教版七年级下册无理数的概念为例，运用APOS理论的四个阶段对其教学过程进行分析，基于APOS理论归纳出概念教学的一般模式，其分为四个阶段：活动、程序、对象、图式。

关键词 APOS理论；无理数；数学概念；概念教学

中图分类号：G652 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2018）14-0080-03

Using APOS Theory to Perspective Concept Teaching of Irra-tional Numbers//ZHANG Mengting， LIU Yun

Abstract Concept is the basis of learning mathematics， and under-standing of concepts is the focus of teaching. The author who teaches

the concept version of grade seven irrational number as an example， using the four stages of APOS theory to analyze the teaching process，

APOS theory summed up the general model based on the concept of teaching， which is divided into four stages： activity， process， object and schema.

Key words APOS theory； irrational number； mathematical concept； concept teaching

1 引言

无理数的教学安排在人民教育出版社七年级下册第六章“实数”的探究部分。相对于有理数，无理数是一个经常被人们忽视的知识点，所以大多数学生对于无理数的掌握仅仅停留在运算上，只会做题，不能理解其概念的本质属性。在实施素质教育的今天，不能只注重做题技能的训练，还应该顺应学生的认知，让学生明确无理数概念的本质。

APOS理论是在建构主义学习观下提出的有关概念学习的数学学习理论。经过皮亚杰反思性抽象的扩展，APOS理论认为理解数学概念要经历四个階段：A—Action（活动），P—Process（程序），O—Object（对象），S—Schema（图式）。那么该如何将这一理论运用到无理数的教学中去呢？本文以无理数的教学为例，展示APOS理论在概念教学中的应用。

2 AOPS理论下的无理数教学过程

第一阶段：活动 活动是指通过一个个外部行为去变换一个客观的数学对象。它是学生理解概念的一个必要条件，通过活动让学生亲自感受到外部刺激，从而更好地引入新概念。这里的活动泛指所有的数学活动，包括实验、猜想、推理、论证等。在无理数教学中，可设计如下活动：

古希腊的毕达哥拉斯学派认为世界上的一切量都是可以用数（有理数）来表示的观点被他的弟子希伯索斯（Hippasus）

否定了，希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线是不可以用有理数来表示的。那肯定有一种与有理数不同的数真实存在着，那么这个数到底是谁？我们顺着古人的思路一起来探究一下。请同学们动手操作一下可不可以用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？（让学生动手剪一剪、凑一凑。）

如图1所示，教师引导学生将两个面积为1 dm2的小正方形沿着对角线剪开，得到四个直角三角形，将这四个直角三角形凑在一起，就形成一个面积为2 dm2的大正方形。根据正方形面积公式和算数平方根的知识，抽象概括出代数式x2=2，从而知道大正方形的边长（即小正方形的对角线）为 dm。

根据有理数的概念，分数和整数统称为有理数。事实上，找不到一个分数或是整数来代替，不能用分数或是整数来表示，即它不是有理数。那么可不可以用有理数来近似地表示它，从而来近似确定它的大小呢？

因为12=1，22=4，所以1<<2；

因为1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4<<1.5；

因为1.412=1.988 1，1.422=2.016 4，所以1.41<<1.42；

因为1.4142=1.999 396，1.4152=2.002 225，所以1.414<<1.415；

……

这样就得到的近似值，那它的近似数会一直无限不循环下去吗？

第二阶段：程序 当活动经过反复多次重复，被个体熟悉之后，就可以内化为一种程序的心理操作。内化是理解所感受到的现象的一种心理过程。学生对活动进行反复思考，寻找事物的共同属性，并且通过实例进行假设、验证，抽象出概念所特有的属性，从而形成概念。

在无理数教学中，为让学生获得无理数的本质属性，先让学生利用计算器得到=1.414 213 562 3，然后提问：1.414 213 562 3是还是的近似数？这时有的学生可能会觉得不会一直循环下去，这个小数应该就是。教师再提问：请同学们利用算数平方根的知识计算一下

1.414 213 562 3的平方，你能发现什么？最终学生计算的结果是等于1.999 999 688 7，所以化为小数会一直不循环下去，教师告诉学生它是一个无限不循环小数。很多正有理数的算数平方根（，，等）都是无限不循环小数。接下来又利用计算器计算了，，，发现它们的近似值都是一些无限不循环小数。这是以前没有见过的一类数，其实从这里已经初步得到无理数的概念。

第三阶段：对象 个体从整体上把握一个程序，把它作为一个整体进行变换，这一变换就变成一种心理对象。通过前面的抽象认识到概念的本质属性，并将这一概念赋予精确化的定义或是符号，成为一个明确的整体对象，然后再对这个对象进行更上一层次的活动。

在无理数的教学中，经过活动和程序这两个阶段，学生已经认识到无理数得到的数学过程，可以继续通过探究将这个数学过程对象化：知道有理数包括整数和分数，请把下面的有理数写成小数的形式，看看你发现了什么？

上面的分数和整数都是有理数，都可以化为有限小数和无限循环小数的形式，由此得出无理数的概念，即无限不循环小数叫作无理数。动画演示：在数轴上利用圆的滚动画出π=3.141 592 65…。所以数轴上的点和无理数也是一一对应着。

教师引导学生在数轴上可以表示无理数和-，得出无理数有正有负，那么自然也就存在相反数和绝对值。

为了学生全面理解无理数的概念，教师应该呈现不同形式的无理数给学生看。

1）开不尽的数：……

2）负无理数：……

3）超越数：π，e，lg2，……

4）无限不循环小数：4.121 121 112 111 12……

此外，由于×=2，÷=1，-=0，+（-）=0，无理数之间进行加减乘除运算的结果可能不是无理数，因此，无理数的运算是不封闭的。

第四阶段：图式 图式的建立是一个长期的过程，孤立的一个数学概念是毫无意义的，学生要在不断的学习和练习过程中，将新概念与原有的认知结构联系起来，在头脑中形成一个心智结构，而这一心智结构就是所谓的图式。

教学中经过活动、程序、对象的教学顺序对无理数进行了探究，根据学生的心理认知来构建新的知识——无理数。这使得学生对数的认识又上了一个新的台阶，将有理数和无理数统称为实数，就可以建立起一个与无理数有关的图式，如图2所示。

1）考查对无理数概念的掌握，会区分有理数和无理数。

【例1】下面的数是无理数的有哪些？

0.484 484 448…，，3.141 592 6，，-11，，0，，，，2.020 020 002，，

【解析】①有的学生过于浮躁，会认为是无理数，因为将这个数化为小数时，化到小数点后面10位都不循环，就认为它是一个无限不循环小数，进而认为它是一个无理数。事实上，是一个分数，而分数和整数都是有理数，所以应该是有理数。

②有的学生认为3.141 592 6是π，所以是无理数，其实是平时背π只背到小数点后面几位，形成定式思维，带来错误判断。

③由于粗心大意，有的学生认为是对9开平方等于3，因此误判它为有理数。

④对于，有的学生简单认为只要带有根号的数就是无理数，没有认识到是开不尽的数才称之为无理数。

⑤看着是个分数的形式就判断它为有理数，但是不满足分数的定义，即分子分母都必须为整数。

因此，无理数有{0.484 484 448…，，，，，}

2）能用有理数估计无理数。

【例2】与1+最接近的整数是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】利用逼近法，选B。

3）考查有关无理数的大小比较问题。

【例3】估计与0.5比哪个大？与1.0比呢？

【解析】對于有关无理数比大小的问题主要有四种方法：比较被开方数；平方法；移动因式法；作差法。对于这道题可采用作差法。

因为-0.5=>0，所以>0.5。

因为<0，所以<1.0。

3 基于APOS理论的一般概念教学模式

APOS理论的四个阶段清楚地指出学生理解数学概念的不同层次水平，符合学生对概念认知的心理发展规律。基于这个理论的活动、程序、对象、图式四个阶段，笔者归纳出一般概念教学的基本模式。

概念产生背景或创设问题情境 建构主义学习观认为，学习是在一定情境中发生的。根据学生的学习情况，教师可以提供一些与新概念有关的感性材料对学生进行一个外部刺激，但是这些感性材料要有典型性、针对性、趣味性。就像无理数的教学，教师可以简单和学生叙述一下无理数的历史，让学生对这一类新的数产生兴趣；接着让学生亲自动手用两个小正方形去拼成一个大正方形，利用学生已有的开根号的知识引出一个具体的无理数，这为后面的学习做了很好的铺垫。

寻找共同属性，获得概念 概念的获得通常有两种方式：概念形成和概念同化。概念形成是指通过大量的具体例子，归纳出这一类事物的共性，从而得出数学概念。这是一个发现学习的过程。概念同化是指将新的概念与学生原有的认知结构相互联系，将这个新事物同化到已有的概念体系中去。这是一个接受学习的过程。概念的同化可以让新概念获得意义，同时扩大和加深原有的认知结构。

在探究无理数的概念时，首先从出发，发现它是一个无限不循环小数，并且有好多有理数开根号结果都是无限不循环小数。通过这些实例得出无理数的一个共同属性就是它们化为小数时，小数点后面的数都是无限不循环的，这属于概念形成。

揭示概念本质 对于概念的理解，讲清楚定义只是第一步，还要对定义进行进一步剖析。这样学生才能对概念进行升华，而不仅仅只是停留在语言描述层次。韬尔曾经提出过“过程性概念”这一名词。如“6+7”，从过程角度看它是一个相加的过程，但从过程性概念的角度看它却代表和。前者是一个动态的操作，后者是一个静态的整体对象。

过程性概念的发展经过了前程序—程序—过程—过程性概念。当某个过程经过心理压缩和符号化而变成一个对象（过程性概念）时，学生就能在过程和概念之间灵活地转换。在对象这一层次上，学生可以把过程作为一种心理操作。无理数在数轴上表示得出了无理数的一些性质，无理数有正负之分，有绝对值、相反数等，此时将无理数系统化，将其变成一个完整的对象，提到无理数可以快速知道它的定义、性质。同时还要明确概念表征的多元性，对于无理数的表示方法，可以是无限不循环小数、开不尽的数、超越数等。

概念的迁移与应用 概念的迁移是学生将新概念与原认知结构进行联结，或是对新概念进行拓展延伸。当下流行的一种理解概念的重要手段就是画概念图。概念图能将各个知识之间的相邻关系、对立关系、交叉关系、并列关系很好地展示出来。概念的应用是拿这个概念去解决问题。通过用一些典型的例子让学生训练，在应用中强化概念的理解，促进概念系统的建构。

4 结语

基于APOS理论的数学概念教学模式体现的是学生的外部感知由浅及深一步步得到抽象的数学概念的过程，这一规律符合学生的心理发展。这种教学方法能够调动学生的主观能动性，培养学生积极发现问题的能力。但有时候对于数学概念的理解并不严格遵循APOS四个阶段的这种线性的途径，比如在无理数概念教学中，程序和对象阶段也会有活动的影子，所以四个阶段之间还会存在一种循环参考文献

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