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钱宝玉

创新整合点

利用几何画板软件设计了镶嵌实验室，学生借助计算机，可以直观地在计算机上对多边形进行镶嵌实验，从而发现规律，总结出平面图形镶嵌的条件。

教材分析

平面图形的镶嵌是八年级的一节综合实践课，本节课主要是让学生通过动手操作、小组合作、多媒体辅助（几何画板镶嵌实验室）等多种形式探究平面图形镶嵌的条件。在此之前，學生已经学习了三角形的内角和、多边形的内角和等知识。通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义。

学情分析

学生经历了对平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等性质和判定的探索活动，掌握了有关特殊四边形的性质、判定，并了解多边形的内角和外角。在本章前几节的探索活动中，学生体现了主动合作和实践动手能力，积累了一定的探索图形性质的经验，以及在活动过程中表现出一定的数学表达能力和数学思考的发展水平。

八年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对其内在规律关注不够，因而在本章教学中教师应通过创设情境，组织学生动手活动，在活动中与学生共同探究加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。

教学目标

知识与技能目标：通过探索平面图形的镶嵌，知道用单一的正多边形图形能进行平面镶嵌的只有正三角形、正四边形或正六边形，并能运用正多边形图形进行简单的镶嵌设计；在探究的过程中，理解正多边形是否能够镶嵌的原因。

过程与方法目标：培养从实际中发现问题、解决实际问题的能力；培养创造性思维能力，理论联系实际；培养动手操作、自主探索、合作学习的能力。

情感态度与价值观目标：通过观察、实验、归纳、说理等学习活动，在体验数学活动的探索性和创造性中提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心；在探索过程中，培养合作交流意识和一定的审美情感；进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值。

教学环境与准备

课前准备好若干常见的基本图形的纸板：正三角形12个、正方形4个、正五边形4个、正六边形4个、正八边形4个、一般的三角形6个、一般的四边形4个。安排学生复习回顾多边形内角和公式（n-2）180°，能够根据公式计算出常见的正多边形每个内角的度数。

安排学生在多媒体教室学习，注意分组，在计算机上安装好几何画板镶嵌实验室软件。

教学过程

1.创设情境，明晰概念

师：同学们，大家都知道，数学是来源于生活，同时反过来为生活服务的，只要大家做一个生活的有心人，处处观察我们生活的世界，你们就会发现许许多多的数学奥秘。今天我们要研究的平面图形的镶嵌，也和我们的生活息息相关。（播放《关注身边的数学，发现数学中的美》的视频）大家看，这是我们的校园，大家都非常熟悉，如果细心观察，你们会发现，这里面隐藏着一个数学的奥秘。现在，让我们一起走进校园，然后从数学的角度来思考，校园里到底隐藏着一个怎样的数学奥秘呢？

设计意图：通过让学生观看视频，让学生体会数学就在我们身边，渗透数学知识来源于生活，同时，让学生感受数学中的美。

提出问题：当你漫步在校园里的时候，你是否发现了这些地砖和墙砖的拼铺？实际上这种拼铺在我们生活当中也随处能看见，请大家从数学的角度出发进行思考，这些地砖、墙砖还有天花板，它们有什么样的共同特征？

学生讨论，说出特征，教师将学生所说的特征进行总结和概括，在此基础上明晰平面图形镶嵌的概念。

设计意图：让学生通过观察和思考，初步总结出平面图形镶嵌的定义，并掌握定义中的关键词，为开展操作和探究活动做好准备。

2.操作探究，发现规律

探究活动一：同种正多边形的镶嵌

提出问题：小明家的新房进行地面装修，他的父母在某建材市场选购材料的过程中看到如下几种形状的地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正八边形。如果只选择一种进行地面装修，哪几种可供选择？

操作探究：请各小组合理分工，利用多边形模板或几何画板动手操作验证（如图1），得出结论，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。

活动时间：4分钟。

请某个小组将探究活动一的镶嵌图案在黑板上进行展示。

教师引导学生按照探究报告的问题进行汇报交流。

①哪些正多边形可以镶嵌？哪些不能进行镶嵌？

②请结合拼图，具体说一下能够镶嵌的图形是如何镶嵌的？

③请结合拼图，具体说一下正五边形和正八边形为什么不能进行镶嵌？

④根据以上探究，你们能总结一下镶嵌的条件吗？一个正多边形要能够进行平面镶嵌，它的内角要满足什么条件？

设计意图：提出现实问题，组织学生以小组为单位开展操作与探究，并通过实验探究报告，引导学生初步总结出平面图形镶嵌的条件以及正多边形镶嵌的条件。

师：通过刚才发现的规律，你们还能再找到能够进行平面镶嵌的正多边形吗？说说你们的想法。（引导：能否用代数的方法解决刚才的问题？）

设计意图：通过使用代数方法解决问题，让学生体会数形结合以及方程思想在解决问题中的作用。

师：刚才我们研究的这些图形都是正多边形，是内角的度数和边长也都相等的多边形，可以说是特殊的多边形，那么对于任意的多边形，是否也能够按照刚才的规律进行镶嵌呢？

我们在研究问题时，很多时候是先研究特殊的情况，再研究一般的情况，这在数学上是一种从特殊到一般的数学方法。endprint

探究活动二：任意多边形的平面镶嵌

提出问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地面镶嵌吗？任意的四边形呢？

操作探究：请各小组合理分工，利用任意三角形和任意四边形模板或几何画板动手操作验证（如图2），根据操作验证，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。

活动时间：4分钟。

某个小组将探究活动二的镶嵌图案在黑板上进行展示。

教师引导学生按照探究报告的问题进行汇报交流。

①任意三角形和任意四边形是否可以进行镶嵌？

②具体说一下它们是如何镶嵌的？

师：刚才研究的图形都是用同一种多边形，对于两种甚至三种多边形的组合，是否也有这样的规律呢？在数学学习过程中，我们往往先从简单的开始研究，再研究复杂的情况，这就是从简单到复杂的数学学习方法。

探究活动三：边长相等的两种正多边形的组合镶嵌

提出问题：小明的父母想用刚才边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的两种地砖进行地面装修，请帮他们设计出利用两种地砖进行组合镶嵌的方案。

操作探究：小组PK。编号为奇数的小组利用动手操作来设计方案，编号为偶数的小组利用探究活动一和探究活动二发现的规律，利用几何画板进行镶嵌实验（如图3）。

活动时间：5分钟。

奇数组代表汇报探究成果。

①哪些正多边形的组合可以进行平面镶嵌？

②它们是如何镶嵌的？

偶数组代表汇报通过方程思想探究得出的结果。

总结探究活动三得出的结论。

设计意图：通过分组探究，让学生用不同的方法解决，体会数学学习方法的多样性。

3.总结归纳，提炼精华

通过以上的探究活动，总结归纳多边形可以镶嵌的条件：一是拼接点处几个内角的和能够构成360度角，二是相等的边互相重合。

4.思维拓展，应用提升

提出问题：刚才我们研究的不管是同一种多边形的镶嵌还是组合图形的镶嵌，都是一些规则的图形，那么对于不规则的图形，是否也能进行平面镶嵌呢？

教师出示如下頁图4所示的两个图案，引导学生说出镶嵌方法。

提出问题：如下页图5，在一个正方形的内部减去一个图形，并平移，形成新的图案。以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？

教师引导学生总结通过刚才的三组图形得到的结论。

设计意图：从规则图形到不规则图形，为学生提供一种设计镶嵌基本图案的方法。

5.作业布置，学以致用

师：我校新校区正在建设中，请根据今天所学习的镶嵌的知识，为我校新校区设计一种教室地面的镶嵌方案，要求用三种正多边形组合进行设计。你有多少种设计方案？

其实，镶嵌就在我们身边，它每时每刻都在装点着我们的生活。希望大家通过今天这节课的学习，能用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。在镶嵌的背后，还有更多的数学奥秘等待着我们去探索，去发现。最后，伴随着悠扬动听的葫芦丝旋律，让我们在欣赏一组镶嵌作品中结束本节课的学习。

● 教学反思

本节课的设计，我以自己创作的《学生身边的数学和校园中的数学》的视频引入，同时以生活中常见的丰富多彩的镶嵌的视频作为结尾，让学生感知数学和我们的生活息息相关，数学就在我们身边，数学可以给我们带来美。

在操作和研究环节，我设计了三个探究活动，分别是同种正多边形的镶嵌、任意多边形的镶嵌、边长相等的两种正多边形的镶嵌。设计时遵循学生的认知规律，先研究特殊的图形，再研究一般的图形；先研究单一的简单的图形，再研究组合的复杂的图形；先研究规则的图形，再研究不规则的图形。在这个过程中，让学生体会并经历“从特殊到一般”“从简单到复杂”“从规则到不规则”等数学学习的一般方法，同时在过程中渗透了方程思想和数形结合的思想，数学思想和方法贯穿本节课的始终。

当然，通过实际的授课，本课还是存在很多需要重新思考和改进的地方：

①学生活动时间充分、活动形式多样，活动进行得也比较顺利，但对于部分学生而言还存在着“玩”的情况，对于这类学生来说活动的形式冲淡了活动的目的。

②教学语言不够精练，重复性的话语虽然起到了重点知识重点强调的作用，但仍显冗长而罗嗦；而一些指向过于明确的细化问题在某种程度上限制了学生的思维。

③时间分配上存在着前松后紧的情况，概念处理显得过于拖沓，以至于后期的思考问题不够深入，这还需要在活动设计和课堂节奏的调整上下功夫。

④若能在活动的初始阶段把密铺所需要的“量”（顶点、边、角）都抓出来，给学生以具体呈现，本节课的学生活动会更具思想性。

⑤由于时间有限，本节课的研究仅限于多边形的顶点和顶点重合、相等的边重合的情况，在探究过程中，学生也出现了相等的边不重合的情况，可以借助拼图在黑板上进行演示，让学生认同相等的边必须重合，否则不能进行连续的镶嵌。也可以借助几何画板软件进行进一步的探究和尝试，但由于时间关系，利用几何画板的探究设想并没有进行。而对于其他形式基本没有涉及，这也容易造成学生思维的局限性，可以在以后的教学中适当加以铺垫和解释。endprint