把握知识联系，还原问题本质

吴亚军

[摘 要] 以考查学生基础知识和数学推理能力的知识融合的数列题成为近年来的高考重点题型，解决该类题的思路是准确定位知识结合点，充分利用基础知识还原问题本质. 文章将结合历年高考题具体讲解该类题型的解题思路，并开展相应的教学反思.

[关键词] 融合；数列；联系；解析几何；对数

数列是高中数学的重要知识点，同时也是数学学习的基础内容. 数列是反映自然规律的一种基本的数学模型，与其他知识点结合紧密，知识融合的数列问题也成为近年来高考的重点题型，用以考查学生的基础知识和综合解题能力.

真题解析，试题分析

1. 真题呈现

（2017山东高考数学卷第19题）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2.

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2），…，Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成区域的面积Tn.

2. 真题解析

分析：（1）略；（2）折线与若干直线围成的图形是由若干梯形组成的，则面积Tn可通过叠加计算梯形面积获得，设梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为an，根据梯形面积公式可表示an，利用错位相减可求得Tn的值.

解：（2）过P1，P2，…，Pn+1作x轴的垂线，垂足为Q1，Q2，…，Qn+1. 设梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为an，则an=（2n+1）×2n-2，围成面积Tn=a1+a2+…+an=3×2-1+5×20+…+（2n-1）×2n-3+（2n+1）×2n-2？搖①，2Tn=3×20+5×21+…+（2n-1）×2n-2+（2n+1）×2n-1②，①-②可得Tn=.

3. 试题解析

本题是较为特殊的数列综合问题，第二问巧妙地将数列与解析几何进行结合，主要考查学生几何面积转化以及数列求和等知识，对学生的逻辑思维能力和基础运算能力要求较强. 确定数列的通项公式是解题的基础，建立解析几何与数列知识的联系是解题的关键，准确运算求和是解题的保障. 上述解题过程充分利用图形分析简化几何面积，然后通过面积计算实现了几何问题的数列转化，整个过程思路清晰，求解简洁，知识的结合分析是打开问题突破口的关键，也为解决知识融合的数列问题提供了参考.

试题衔接，思路剖析

知识融合的数列问题在历年考题中都有出现，例如结合双曲线性质、对数运算、函数极限等知识，其本质上都是对知识关联性的考查，解题的思路都是基于数列知识，充分把握知识结合点，发现数列与曲线性质、对数函数性质、极限等知识的联系，通过合理的方式将问题转化为基本的数列问题，从而实现综合问题的简单求解.

试题1：（2016四川高考数学卷第19题）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈N*.

（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求an的通项公式；

（2）设双曲线x2-=1的离心率为en，且e2=，证明：e1+e2+…+en>.

分析：（1）略；（2）考查数列与解析几何的交汇，根据离心率的定义可知en与q的关系，利用e2=可求得q的值，进而可得en，最后结合缩放法可证不等式.

解：an=qn-1，双曲线离心率en==，根据e2==，解得q=. 因为1+q2（k-1）>q2（k-1），则>qk-1，k∈N*，进一步可得e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=，因此e1+e2+…+en>.

试题2：（2016天津高考数学卷第18题）已知{an}是等比数列，前n项之和为S（n∈N*），且-=，S6=63.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（-1）nb}的前2n项和.

分析：由bn是log2an和log2an+1的等差中项，根据对数运算可求得bn的通项，分析可知其为等差数列，假设{（-1）nb}的前n项之和为Tn，分析-b+b=（b2n-1+b2n）（b2n-b2n-1） =b2n-1+b2n，从而可对其进行简化，可得T2n=b1+b2+b3+…+b2n-1+b2n，利用等差数列前n项之和公式可求解.

解：由题意可知b=（log2an+log2an+1），an=2n-1，则bn=n-，{bn}是首项为，公差为1的等差数列. 假设{（-1）nb}的前n项之和为Tn，则T2n=（-b+b）+（-b+b）+…+（-b+b）=b1+b2+b3+…+b2n-1+b2n==2n2.

上述问题都是涉及知识综合的数列问题，试题1将数列与解析几何知识相结合，考查双曲线的性质，求解过程利用离心率的定义，建立与数列的关系，利用不等式的缩放法来求解；试题2则是巧妙地将对数运算与数列知识相结合，利用对数运算实现对数知识到数列通项的过渡，整个过程融合自然，内涵丰富.

解后反思，深入思考

1. 扎实基础，变式学习

数列问题离不开求通项公式以及数列求和，熟练掌握和运用基础知识始终是获得解题思路的关键，在基础知识教学中可以适当地进行习题变式，例如对通项公式合理变换，改变题干信息的表述形式等，都可以有效拓展学生的思维，防止陷入解题的困境. 对于结合了解析几何的数列问题则可以考虑采用数形结合的分析方式，使用综合分析法来求解综合问题，日常的变式练习对于数列知识的掌握有着重要的作用.

2. 注重综合，提炼方法

分析高考数列问题发现近年对于数列的考查已不再局限于单一知识点，更加注重知识点的融合考查，例如近年来出现了结合不等式、集合、三角函数以及图形面积等知识点的数列综合题，充分体现出知识间的融合性. 在教学中可以适当地开展综合知识教学，创设条件沟通知识点之间的联系，例如试题多解教学、专题知识讲座、绘制知识体系图等，通过针对性的习题练习提升学生知识综合运用能力，让学生在解题过程中提炼解题思路，获得解题方法.

3. 归纳总结，思想提升

数列问题的基本模型是等差、等比数列，问题的变式综合大致都离不开上述数列模型，即使是数列综合问题也存在通性通法，例如分析数列性质、分解知识交汇点、掌握数列求和方法等. 因此探究数列问题的解题技巧，提升归纳意识和推理能力成为解决数列问题的关键，归纳是对数列问题形式的一种合理总结，也是对解题思路的有效提炼，通过对考题的归纳总结可以不断提升学生的化归能力，从而获得分析数学问题的思想方法.

结束语

高考知识融合的数列问题是对学生数学核心素养和综合能力的考查，解决该类问题要准确把握知识的结合点，利用相关性质定理实现问题的数列还原，然后利用数列知识进行求解. 在实际教学中要帮助学生掌握数列的基础知识，开展变式学习、知识融合训练、解题方法讲解，提升学生的解题能力.另外要注重对问题的总结归纳，将技巧方法上升到思想高度，以提升学生的数学思想为最终目的.endprint