高中数学排列组合问题解析

赵欣然

摘 要：本文介绍分析了排列组合问题的核心思想。从更高的角度看待排列组合问题。从而探寻其内在联系和普遍规律。从生活中的具体问题入手，将常见的排列组合问题进行了归纳总结，并给出了通用解法。分析并指出常见错误，并给出通用解题步骤。通过规范化的处理避免方法。

关键词：高中数学 排列组合 解析

引言

依据已知条件求出可能的排列和组合的情况总数，是排列组合问题的核心考点。其难点在于实际问题中众多的条件限制，往往使得正确运用公式变得比较困难。本文通过梳理解题的一般步骤，使得能够在解题正确迅速的找到思路。[1]

一、区别排列组合的内在含义

排列：每种情况下，各个元素间有顺序的区别；组合：每种情况下，只考虑这种情况包含有哪些元素，不考虑这些元素间是否有先后顺序的区别。两者的内在区别在于有无顺序。这是一个易错点。在实际解决问题中，往往通过判断替换元素间相互替换后有无区别来判断是否有内在的顺序限制。有区别，则为排列，无区别，则为组合。[2]

二、常见的排列组合问题解法

解决排列组合问题，核心是通过排列组合的不断运用，最终实现题目中描述的事件。因此，解决一个排列组合问题问题均可以分为以下三个步骤：①理清事件是如何完成的（分步，且每个步骤不能有交集）；②每一个步骤间逻辑顺序如何；③每一个步骤是排列还是组合。这三步极其关键，也是最出易错的环节。[3]

三、常见的解题思路

1.捆绑法：将每种可能的完成事件的重叠部分捆绑作为一个步骤，根据乘法原理，总情况数=捆绑部分的情况×剩下步骤的情况

例1.有8本各不相同的字典，其中汉语字典3本，英语字典2本，法语字典3本，若将这些字典排列成一列放在柜子里，让汉语字典排在一起，并要求2本英语字典间夹一本字典。问：一共有多少情况？

解：由于汉语字典要相邻排放，故而两本英语字典夹的必为法语字典。因而本题有两个捆绑元素——“三本汉语字典”和“两本英语字典夹一本法语字典”。

三个步骤可以分成：①需要捆绑“三本汉语字典”和“两本英语字典夹一本法语字典”②将两个新元素和剩下的字典排列在一起③前两个步骤均适用于乘法原则。故共有种，其中是元素“两本英语字典夹一本法语字典”的数量。

这个例子虽然简单，却很好的说明了解决问题的①②③步是解决问题的通用思路，在这里要注意，在复杂问题中，理清事件如何完成，常常要同时使用加法原理和乘法原理。

2.有特殊要求的元素优先处理

特殊元素优先的技巧，实质上是在不改变事件本质的情况下，优化第一个步骤，目的是减少分组讨论（变加法原理为乘法原理），从而使得②③步的情况大为简化。

例2：在一个电子游戏中将X，Y，Z，A，B，C六个字母排成一排，且电脑要求X，Y均在Z的同侧。请问：游戏中不同的组合方法共有多少种？

分析：此题中因为有特殊元素X，Y，Z，故需要优先排列这些元素。解题的基本三个步骤如下：①分析条件，Z最特殊，故由Z在第1到第6位分成六类。②已经安置好Z后，再优先考虑X，Y的位置。③分析逻辑关系，则知Z在1～6的位置上遵循加法原则。

解：因为Z在第一、二、三位与在四、五、六位的情况数量是相同的，所以只需要计算一半的情况，

故共有种

小结：本题计算一般直接乘以2，是因为前后部分完全对称（等可能），在解题中常用“部分×2”或“整体÷2”的方法处理对称或者等可能的问题。

3.排除法：有些问题从正面实现甚是复杂，此时应考虑从实现事件的反面

例 3.袋中 4 个有编号红球，6 个编号的白球，若取得一个红球得 2 分，取得一个白球得 1 分.现从袋中任取 4 个球，使总分大于等于 5 分，这样的取法有几种？

解：考虑反面，不满足条件的只有得 4 分，既所取均为白球情形.故有：种。

4.插空法 插空法的核心，是将没有限制的分成一个步骤先进行处理，有限制的分成之另一个步骤后处理。

例4在一张菜单中原要依次上6个菜，若保持这些菜品的上菜的相对顺序不变，再添加进去3个菜品，则所有不同的添加方法共有多少种？

此题使用插空法很方便，但是如果不仔细分析题意，极其容易出现理解上的错误

错解1：原来的6个菜品之间有7个空，选三个空分别插入三个菜品，则共有：种

首先，注意审题，是添加的方法，不是总的排序法，所以多余。

错解2：共有种

注意，添加三个菜品，并未要求這3个菜品一定要分开。所以不一定是三个空。

正解：先插入在一个空位一个菜，有种。继续插入第二个，有种，最后插入一个，有种。故共有7×8×9=504种。

5.插板法——在题目中的元素没有差别时使用

例5某校准备参加2009年全国高中数学联赛，把20个名额分配给高三的4个班，要求每个班至少3个名额，则有多少种分配方法？

解答与分析：因为名额是无差别元素，所以可以先每个班分配2个名额，剩下的12个名额就用插板法分配给四个班。剩下的十二个参赛名额里一共有十一个空位可以插，所以每个班至少有个。

一般的；把n个相同的元素分配给m人，要求每个人至少能够分到t个元素，这样的分法有：种。

结语

在排列组合中合理划分步骤，并找到对应的逻辑关系，是正确解题的关键。步骤间内在逻辑，不仅仅只有先后和并列两种，也有可能存在交叉或者缺失，这就是常常犯的“重复”“遗漏”的错误。所以，分三步想清楚事件是如何完成的，才是解决问题最关键之处，才能合理正确运用学到的基础知识解决问题。本文列出所有常见方法，也是以此为基础，万万不可生硬的直接套用。

参考文献

[1]马瑜优.一类排列组合的解题技巧分析[J]解题技巧与方法2017，（09）：147-148

[2]戴建忠.解排列组合问题的十种常规技巧[J]新课程（下旬），2017，（04）：72

[3]喻天.高中数学排列组合学习策略[J]祖国.2017，（04上）：228endprint