浅析高考解析几何中的最值问题

广东省佛山市第一中学 陈超伦

一、高考解析几何中的最值问题所涉及的知识内容分析

高中数学知识内容较为完整化与系统化，而高考解析几何中的最值问题，不仅涉及基本的“解析几何”知识内容，更与“函数方程”、“不等式”等数学内容互有联系，是数学知识的综合化体现。在对解析几何中的最值问题进行思考的过程中，要结合所学数学知识内容进行综合分析，才能得出正确答案，否则思维缺少正确的方向与方法，将不利于正确结论的得出。例如：“已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，而且AB垂直于BC，如果点P的坐标为(2，0)，则的最大值为多少？（2015年湖南高考数学题目）学生在思考问题的过程之中，不仅要结合解析几何的知识内容考虑到圆的特点，还要根据“向量”知识对题目条件进行转化，才能顺利结合题目条件理清思绪，通过层层剖析得出答案。高考解析几何中的最值问题绝不会以独立的考查形式出现，数学问题的综合性与推理过程的严谨性是这类题目的一大特点，只有学生能够拥有扎实的数学基础，懂得结合所学数学知识对解析几何中的最值问题进行综合分析，才能把握解题命脉，从而抓住解题的线索，在明确解题方向的基础之上经过严谨推理得出答案。

二、高考解析几何中的最值问题存在的形式分析

虽然高考中解析几何的最值问题是困扰学生的一大难点，但是只要抓住这类题型的主要特征，解决这类问题也并非无章可循。从近年来高考解析几何中最值问题的存在形式分析，这些问题往往都是以解析几何知识作为考查载体的，与其他数学知识互为关联，旨在考查学生综合分析问题的能力。这类问题大致可分为两类，一类是求有关夹角、面积、距离等最值或与之相关的问题，另一类是求直线与圆锥曲线中几何元素的最值问题或与之相关的问题，而从考查形式上，这些问题根据难度的不同及综合性的不一，既包括选择题，又包括填空题，更有逻辑要求较高、综合性更强的推理难题。只有学生抓住解决距离、面积类解析几何最值问题的一般特征，才能逻辑清晰地解决此类问题。例如：“已知F是双曲线的右焦点，P是C左上一点，当△APF周长最小时，该三角形的面积为多少？”在解题的过程之中，需要综合考虑题目条件，联想到如何用题目条件表达三角形面积关系，才能在推理论证之下解决此类问题。根据所求最值类型的不同，考虑合理的推理方式是解决高考解析几何中最值问题的关键，高考解析几何中最值问题存在的形式包括距离、面积、夹角大小等，只要学生对于解析几何知识拥有深入的研究，能够理清解析几何知识与平面几何知识间的内在联系，解决此类问题便能游刃有余。

三、解决高考解析几何中最值问题的思路探究

因高考解析几何中的最值问题带有一定的综合性与难度，能否掌握合理的推敲方法与解题思路是能否解决这类问题的关键。从高考解析几何中最值问题的一般特点分析，清晰了解各类解析几何的定义是解决这类问题的前提条件，又由“解析几何”的定义可知，解析几何知识包括代数知识和几何知识，因此数形结合思想与转化思想是解决这类问题的一般思路。例如：“已知P点是位于抛物线y2=4x上的点，那么P点到Q点(2，-1)的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为多少？”解题者必须清晰了解有关“抛物线”解析几何知识的基本定义，适当地把P点到焦点的距离转化为P点到准线的距离，再应用数形结合思想根据图象综合分析问题，才能解决问题。而数形结合思想与转化思想在解题过程中出现的形式又有所不同，有时需要结合题目条件把几何关系转化为代数关系，而有时则需要利用代数关系推算其在图象中的具体形象，在解题过程中究竟需要采用何种思路解决问题，需要结合具体问题具体分析。例如：“已知M(x0，y0)是双曲线上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若MF1.MF2＜0，则y0的取值范围为多少？”这道题中，把题中所给的代数关系转化为图形关系，是解决这类题目的一般思路。只有清晰解题思路，才能逻辑清晰地处理高考解析几何中最值问题的相关条件，在经过合理推敲之后得出正确答案。

高考解析几何中的最值问题是高考数学当中的重要内容，只有学生清晰掌握有关解析几何的基本概念，了解其在高考当中出现的形式，并掌握解决此类问题的思维方法，才能在条理清晰的情况之下游刃有余地解决此类问题。

[1]朱大红．高中解析几何的学习障碍分析及对策研究[D]．苏州大学 ，2015．

[2]邹黎华．对福建高考数学解析几何试题的评析与思考[J]．福建基础教育研究，2013（02）．

[3]姚振飞．高中解析几何中的最值问题及其教学策略研究[J]．考试周刊，2013（85）．