数学高考改革的“能力立意”：基于高考试题变化的解析

刘春艳

摘要北京高考数学命题在发展变化过程中形成了自己的特点：从学科整体意义和思想含义上立意，关注学科本质，回归课程标准和教材：试题设计既注重内涵又留有空间，为学校教学和学生发展提供思考方向：命题方式稳中求进，不断探索、完善能力立意的理论内涵和实践形式。

关键词新高考改革：北京新高考：课程标准：能力立意：学科本质：数学文化

目前，新课程背景下的高考改革已进入关键时期。新一轮高考改革理念的落实，最终还要依赖每一位教师的学科教学。因此，对于学校管理者来说，让每位教师理解试题变化的本质与方向是理解高考改革的重要环节，教师只有真正理解试题，才能在教学中真正落实教学的育人目标。从高考数学试题看，近年来北京市一直在积极探索新高考改革理念的落地，为学生搭建施展才华的平台，也形成了自己的一些特点。

一、关注学科本质，回归课程标准与教材

高中数学课程标准明确提出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。”因此，“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”。多年来，北京高考数学试题从学科整体意义和思想含义上立意关注学科本质已成为一大特色。

这类问题在高考题中大多是直接指向三角函数相关公式的运用与计算。2017年北京高考数学这对姊妹题从图形入手，考查学生对终边关于y轴对称的两个角的正弦值和余弦值之间关系的理解。从答题情况来看.学生对于上述题目得分均偏低，理科的题目甚至成为填空题中最难的一道题，暴露了教学中的一些问题。

无论是课程标准还是教材，都建议对三角函数的教学要充分发挥单位圆的作用，借助单位国的几何直观，利用单位圆的对称性帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图像和基本性质。因此，上述题目的结构与课程标准以及教材的相关内容一脉相承.呈现方式与解题过程都紧密围绕三角函数的本质展开，是关注本质、淡化技巧的体现。

近年来，高考命题虽然强调能力立意，通过新情境考能力，但这并不意味着高考试题脱离课程标准，脱离教材。课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础。教育部考试中心制定的全国统一考试大纲和各地方的考试说明都明确指出，要依据《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的内容来确定学科考试内容。利用高考命题的导向功能推动新课程背景下的课堂教学改革，也是目前考试服务教学的改革方向。因此，这类题目在考查学生对相关内容掌握情况的同时，意在引导中学数学教学关注课程标准，关注教材，注重理解概念的本质，注重体现知识的产生和发展过程。

二、注重题目内涵，为数学教学提供思考方向

从实际情况看，历年高考试题一直是高中教学的重要参考资料。鉴于此，无论是考查学生基础知识、基本技能的基础性题目，还是考查学生灵活运用数学思想方法能力的创新性题目，北京高考试题的设计始终是既注重内涵又留有空间，为一線教学提供了很好的素材。

比如：北京高考数学题中的程序框图题目，由于此题涉及的具体数学知识简单，考试要求也比较低，属于基础性题目，近年的得分稳定在0.95左右，对于绝大多数考生来说，这就是一道送分题。但即使是这样一道特别简单的题目，命题人对于题目的内涵也是精雕细琢。2017年此题（文理相同）的背景是连分数：2016年理科此题的背景是周期数列，文科此题的背景是与自然数有关的特殊数列求和。这些内容虽不是中学数学的核心内容，却都属于数学中的主干知识。对于这些试题，教师在一线教学使用过程中都可以进一步思考：连分数在数学中究竟有什么样的作用？什么样的数列具有周期性？与自然数有关的特殊数列求和方法有哪些？

对于区分度较高、难度较大的题目也是类似的。作为“新定义”形式的压轴题是北京高考题目的一个特色，重在考查逻辑思维和推理论证能力。由于“新定义”涉及的数学符号较多，题目形式抽象，不是中学数学教学中的常见问题，对考生解决新问题的能力提出了很高的要求。对考生甚至一线教师而言，“新定义”形式的压轴题并无套路可言，因此也存在很多争议。这类题目虽呈现的是一个抽象的数学问题，但是都具有来自社会生活、科学或者数学学科体系内的数学味浓厚的实际背景。

比如：2017年高考数学卷理科的第20题，难度0.19，背景来自优化问题。解这道题首先需要考生读懂数学的符号语言，其次从特例入手挖掘对象的数学本质属性，然后将结论推广至一般，并用准确精练的数学符号语言来呈现整个推理过程。这个解答过程，与日常数学教学中的概念学习过程是一致的：学生在解题过程中通过阅读，利用已有认知结构中的有关知识来理解新定义的过程，就是概念同化的过程。因此，此题也考查了数学概念学习的基本过程和基本方法。

对于这类试题，教师在一线教学使用中还可以做进一步思考：除了试题解析中的标准答案，还有没有其他的方法？研究新问题的一般方法是什么？如何充分发挥特例在解决问题中的作用？如何实现具体与抽象、特殊与一般的相互转化？如何用恰当的数学符号语言准确、清晰、简洁地表达自己的想法？

由此可见，高考试卷中每一个题目都代表了一类问题，都可以从横向和纵向的角度，通过不断地追问把问题延续下去。因此，很多高考题目在某种意义上已不仅仅是一道区分考生学业水平的测试题，还是为一线教学、为学生发展提供的宝贵素材。

高中数学课程标准强调，数学课程应具有多样性与选择性，为学生提供多层次、多种类的选择，使不同的学生在数学上得到不同的发展。在深化课程改革与高等教育大众化普及化的大背景下，高考命题不再是一种淘汰性的考试命题思维，不是专找学生的弱点，而是要给考生搭建展示才能的舞台，在学生充分的展示中评价谁更适合上哪所学校、读哪个专业。因此，很多高考数学试题为学校教学和学生发展提供了一个思考的方向，留有一定的自由发展空间。一线教师可以根据学生的基本需求和自身条件.从不同的角度和不同的程度来选择和利用这些题目。endprint

三、追求稳中有进，探索能力立意的内涵和形式

稳定是高考命题的一个主要特点，每年的高考试题从总体上看平和稳定，大部分试题似曾相识。但是稳定不代表一成不变.稳中求进也是高考命题改革的方向。每年的试题在继承已有成果的基础上又力求创新与发展，稳中有新、稳中有异。

2017年北京高考数学卷文理科的第13题（文科难度0.75，理科难度0.86）是一道开放性的题目：

能够说明“设a，b，c是任意实数。若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_____。

这是北京高考数学试题中首次出现举反例的题目。在日常教学中，要判断一个命题是真命题需要证明，而要判断一个命题是假命题通过举反例来说明即可。课程标准中关于正确评价学生的数学基础知识和基本技能部分也提到“评价对数学的理解，可以关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例”。因此，此题也是教学场景的再现，与课程标准的要求一致。

在近年北京高考中，这种“设问形式开放，答案多元化”的命题方式已有所体现。由前些年“是否存在？若存在，求出相应的值；若不存在，说明理由”的形式，发展为写出其中一个答案（例如：2014年北京高考数学卷理科第20题第三问：“在由五个数对<11，8>、<5，2>、<16，11>、<11，11>、<4、6>组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P，使T（P）最小，并写出T（P）的值<只写出结论>。”），直到今年要求写出一个反例，这也反映出高考命题稳中创新、不断发展变化的过程。

这种发展性也体现在能力立意的内涵方面。1999年2月教育部颁布的《关于进一步深化普通高等学校招生考试制度改革的意见》中提出，高考命题“要把以知识立意转变为以能力立意”。自此.能力立意作为高考命题的基本原则延续至今.对于能力立意的理论研究和实践探索一直没有间断过。

比如：对于能力分类、能力的表达形式等方面一直在不断发展变化.尤其是新课程改革的大背景下。课程标准版《考试大纲》对能力成分进行了重新研究，在原来的基础上作了一些调整，提出了七种能力，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识。2013年.教育部考试中心在相关文章中提出了在实际命题中整合后的能力结构，即逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力、创新应用能力。教育部考试中心还提出了分层次考核数学能力的观点.将每一项能力分为几个组成部分，每个组成部分又分为三个高低不同的层次。2016年，教育部考试中心又提出高考数学对学生创新能力的考查主要体现在理性思维能力、阅读理解能力、应用能力以及数学文化四个方面。

关于如何考查能力，教育理论界仍有许多争论。不过研究者普遍认为，能力立意重在考查学生的学习潜能，要求学生形成对学科整体的认识，把握学科的整体意义和整体结构，对学科的思想方法有较深刻的领悟和掌握，并且研究者在教育测量领域已經达成一定的共识。同时，关于能力立意的内涵，研究者还在不断地探索完善，理论方面的发展很多是建立在实践基础上的，反过来又对实践具有指导意义。基础教育不仅要使学生掌握今后学习和生活所必备的基础知识和基本技能，更重要的是形成终身发展所需要的能力。因此，高考试题的发展变化，根本目的是为了更好地评价学生，为了学生的终身发展，尤其是要引导一线教学更为重视学生能力的培养。endprint