深化探究过程 培育核心素养——以人教版《数学》“最短路径问题探究”教学为例

■徐晓梅

没有核心素养作为导向的课堂是没有灵魂的课堂，那么在课堂中如何更好地渗透学科素养进而培养学生潜在的能力呢？有效的数学核心素养教学必须定位于“学会学习”，体现学生学习能力的增强、思维品质的提高、学习策略运用水平的提升，而不仅仅是知识的传递；教学过程中还要创造性地使用教材，打破思维的封闭性，可以借助创设情境、变式训练等活动唤醒学生学习的内动力。本节课是基于“自觉数学教育思想”的教学，“自觉数学教育思想”获2017年江苏省教学成果一等奖，重在关注主导自觉、主体自觉和支持自觉。

一、创设有效情景，奠基知识回顾

俄国教育学家乌申斯基说：“没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。”兴趣是学生学习的重要动力。创设学生熟悉的生活情境，让学生经历将实际问题数学化的过程，能激发学生的好奇心和探究欲，唤醒学生已有经验认知，从而引发思维活动。

复习引入环节教学片断：

图中两条小路互相垂直，教师提问：（1）小明带着他的小狗来到郊外点A处时，不小心松了牵狗的绳子，你认为小狗会沿着小路跑向长椅吗？（2）小明会怎样走呢？（3）若假设小狗行走的路线是直的，则为什么会出现这种情况呢？（4）口答这个问题：小明从点A处走到长椅要比小狗多走____米？（5）在这道题目中，用到了哪些数学知识？渗透了哪些数学思想呢？

学生在进行新知学习时，需要他们原有的知识和心智发展水平对新知学习的适合性。这里创设情境，激发学习兴趣，寻找与本节课有关联的知识生长点，建立上下位知识间的联系，进行同化和顺应新知。只有引发学生深度思考，学生才会产生对新知的疑问，才会有自己的想法、思维碰撞的火花、高层次对话的基础和智慧生成的基础。

“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。创设有效情境并将复习旧知渗透其中是一种教学艺术，合理安排引入环节可以在最短时间内吸引学生注意力，有利于活跃课堂氛围，提高课堂教学有效性。

二、注重生成过程，培养思维能力

数学新课标提出了“四基四能”，这些能力目标是依靠基本活动经验的积累、活动过程的感悟提升思维品质来实现的。活动设计要有梯度，注重知识的生成过程，便于引发学生积极思考，实现知识的合理构建。另外，教学设计在揭露数学本质的过程中要让学生有所感、有所得，能学以致用。

“自觉体悟”环节教学片段：

1.体悟感知，同化新知。

例1.图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

图1

图2

图3

（1）最优化思想体验：①拿出折纸台阶，每人设计出一条最短路径；②比较组内最短路径，找出比较最短的方法；③展示用数学知识比较最短路径的过程；④立体图形中的最短路径就是展开图中的哪一部分呢？（直接用几何画板反复操作：如图2展开台阶表面，如图3还原台阶）⑤如何画立体图形中的最短路径？

（2）“台阶体验”求最短距离：①给出台阶的长、宽、高，如何求台阶上从A到B的最短路程呢？②能总结解决此类问题的一般步骤吗？

本道题通过自主探究、小组交流、全班“比较性”展示，训练学生的发散性思维、比较性思维等，在“做中学”和“协作学习”中让学生深度感知立体图形中求最短路程的“核心思路”，为学生举一反三奠定基础；通过“观察猜想—学生操作—数学抽象—演绎推理—数学直观—数学本质—数学建模—数学计算—学生体悟”等活动的体验提升元认知水平，这对学生思维的敏锐性、深刻性和批判性的培养很有帮助，丰富了数学活动经验，提升了思维品质。

2.经验迁移，讲练结合。

例2.如图4，有一个无盖圆柱，底圆周长6 cm，高4 cm，一只蚂蚁沿侧面爬行，要从A点爬到B点，则最短路程为多少？

图4

图5

1

图6

（1）圆柱体最优化思想体验：①借助学具并利用几何画板直观感受B的位置（展开圆柱体的侧面，如图5；还原立体图形，如图4；再展开，如图6），启发学生点B1不是点B的正确位置；②简述解题思路求最短距离；③体验在立体图形中画出最短路径；④比较图7、图8、图9中哪条路径最短。（用几何画板展开，再合并为图10。）

图7

图8

图9

（2）数学本质深层次探究：①如图9，最短路径是直线段吗？②你能直接求出这条曲线的长度吗？③通过对台阶和圆柱体中最短路程问题的研究，你认为将立体图形展开的目的是什么？

我们知道数学教学并不能只关注活动经验的简单积累，应更加重视如何帮助学生在经验的积累中实现相应的思维发展。这里选台阶作为第一题有两个目的：1.台阶更贴近生活；2.台阶的展开更易操作，便于揭露出数学本质。这样做的目的是为了将一切核心学习内容交还给学生，提升学生关键能力，改善学生思维品质。

袁振国先生说：“知识是启发智慧的手段，过程是结果的动态延伸。教学中能够把结果变成过程，才能把知识变成智慧。”我们要通过有效的、过程性的学习活动，让学生自觉体悟，促进学生的自我总结、自觉运用，不断丰富和提升活动经验。

图10

三、变式深化本质，培育核心素养

变式训练作为知识载体，可以打破学生的思维定式和认识上的封闭性，训练学生的发散思维。因此，我们要进行有机的、灵活的变式教学，使学生在数学活动中学会探究、分析、类比、综合和经验迁移，将学生的发展作为数学教育的出发点和归宿，发展学生的应变能力、创新能力，提高学生的数学素养，促进学生的学习品质向能力型、智力型、开放型转化。

“变式引领”环节教学片段：变式1 如图11，有一个圆柱，底圆周长为12 cm，高AB为5 cm，一只蚂蚁沿侧面从A点爬到B点，B点在A点的正上方，蚂蚁爬行的最短路程是多少？

学生利用学具讲解。（几何画板同步演示略。）

师：比较变式1和例2，你发现有什么本质区别？

生：展开图中点B的位置不同。

变式2 如图12，无盖圆柱体底面圆周长为18 cm，高为12 cm，当蚂蚁在外壁爬到距离上底3 cm的点A时，瓶子内壁距离下底3 cm的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁从A到达点B处吃蜂蜜的最短路程是多少？

（1）转化思想体验活动：

①蚂蚁怎样才能从外壁的点A爬向内壁的点B呢？（学生归纳：先要经过上底面圆周上某点，才能从外壁爬到内壁。）

②手中的半透明折纸对折后，将一面当成外壁，将另一面当成内壁，标记出A、B两点的相对位置，设计一条从A到B的路径，如图13，还原立体图形后就是图14。

图11

图12

图13

图14

③比较组内最短路径，（如图13、图15、图16。）找出比较最短路径的方法。

图15

图16

④发现蚂蚁的爬行路径都是线段AP与线段BP的和，那么问题转化成了什么？（学生总结：问题化为当点P在线段a的什么位置时，AP+BP和最短。并在几何画板上演示点P的动态过程。）

⑤画出点P的位置使PA+PB和最短。（学生的完成图不一样，如图17、图18、图19。）

图17

图18

⑥小组合作探究上述三种找点P的方法，哪种才能使PA+PB和最短？

⑦找点P的过程实际上用到了“将军饮马问题模型”，将军饮马问题模型的本质做法是什么？（直线上找点P使AP+PB最小，讲解过程略。）

⑧做出找点P的正确图形，并求出蚂蚁爬行最短距离。（展示学生作品，如图20、图21。）

图19

图20

图21

（2）揭露数学本质体验：

①通过对本道题的探究，你有什么感悟？

②“将军饮马问题”核心手段是通过轴对称变换实现将直线同侧两点转化为直线异侧两点；本题中蚂蚁在异面两点间爬行问题可否也有类似转化呢？（借助学生的学具，直接将折纸展开，几何画板动态演示如图22、图23。）

图22

图23

变式2的综合性很强，教学设计意在唤醒学生用已有的知识、方法、能力和心智水平去同化或顺应新知识。教学的关键是引领学生想明白，而不是教师讲明白。笔者基于这个理念加了一个“先行组织者”——设计路径，借助几何画板和学具丰富了学生头脑中的“数学世界图景”，加强直观教学的同时，也让学生看到了问题的本质，提升了学生解决问题的经验。以问题串引导学生完成核心学习环节，这种“兵导兵”的“专业引领”要胜于教师的讲解，既培养了学生的数学语言的“严密表达”能力，也增加了几何作图的逻辑性。最后不能让学生的认识停留在“经验”层面，而是要让学生感悟，从而得到提升。

在教学中，“关注学生的数学现实、提升学生的数学经验、拓展学生的数学思维”是我们尝试探究并实践的根本目标。教学的一切要以学生的发展为本，要关注学生的已有经验，创设情境让数学生活化、现实生活数字化，设计有效学习活动不断提升学生的数学经验。教学要让学生在系统的数学学习中通过体验、认识与内化等过程，逐步形成相对稳定的思考问题、解决问题的思维方法和价值观，让学生关注对知识产生、发展和应用的全方位的体验，提高学生的元认知水平。通过一题多变等有效的思维训练让学生不仅能见数学表象，而且能抓住数学本质。