N维单体上可降映射的动力学性质

冀占江

(梧州学院 信息与电子工程学院，广西 梧州 543002)

1引言

在拓扑学动力系统中，一维动力系统一直都是研究的重点和热点，许多学者对此进行了研究，得到很多有意义的成果。乌克兰数学家Sarkovskii给出了区间上著名的Sarkovskii定理，有关该定理的内容见文献[1]。1988年熊金城[2]对区间上的各种点集进行了研究。Block L[3]对一维区间动力系统做出了更加全面的介绍。孙太祥、席鸿建、张更容等[4]对树映射动力系做了详细深入的研究。但是在实际应用中，很多学科中出现的数学模型大多属于高维乘积空间自映射的迭代问题，因此我们有必要对高维空间的动力学性质进行研究。本文结合的区间映射的一些结论和可降映射的动力学性质，给出了N维单体上可降映射的9个结论。这些结论将熊金城、周作领等人的研究成果更进一步推广，在实际中有一定的应用价值。

2基本概念

定义1[3]设(X,d)是度量空间，f∶X→X连续，点x∈X。若存在m>0使fm(x)=x，则称x为f的周期点，f的周期点集用P(f)表示。

定义2[3]设(X,d)是度量空间，f∶X→X连续，点x∈X。若存在m≥0使得fm(x)∈P(f)，则称x为f的终于周期点。f的终于周期点集用EP(f)表示。

定义4[3]设(X,d)是度量空间，f∶X→X连续，点x∈X。若x∈ω(x,f)，则称x为f的回归点。f的回归点集用R(f)表示。

定义5[5]设(X,d)是度量空间，f∶X→X连续，点x∈X。若对任意的ε>0，存在y∈X和m>0，使得d(y,x)<ε且d(fm(y),x)<ε，则称x为f的非游荡点。f的非游荡点集用Ω(f)表示。

定义6[3]设(X,d)是度量空间，f∶X→X是连续映射，点x∈X。若令ord(x,f)={fm(x)∶m≥0}，则称ord(x,f)为点x在f作用下的轨道。

定义7[3]设(X,d)是度量空间，f∶X→X连续，x∈X。若对任意包含x的开集U，存在m>0，∀k>0，∃0

定义8[6]设(X,d)是度量空间，f∶X→X连续，x,z∈X。称点x是z的不稳定流形点，如果对任意包含z的邻域V(z)，存在m>0，使得x∈fm(V(z))。z的不稳定流形点组成的集合叫做z关于f的不稳定流形，记作Wu(z,f)。

定义9[7]设pi∶Xn→Ii其中pi(x)=xi,x=(x1,x2…xn)，则称pi是自然映射。

定义10[8]设f1，f2∶I→I连续映射，f∶I×I→I×I连续映射，若对任意(x1,x2)∈I×I，有F(x1,x2)=(f1(x1),f(x2))，则称F是f1与f2的乘积映射，并记F=f1×f2。

定义11[7]设f∈C0(Xn)，称f是可降映射，如果若存在连续自映射Fi∶I→I(i=1,…n)使得pi·f=Fi·pi(i=1,2…n)成立，此时Fi(i=1,2…n)称是f的下降组。

3若干个引理

引理3.1设f∈C0(Xn)，z=(z1,z2…zn)∈Xn，t=(t1,t2…tn)∈Xn，d是Xn上的度量，Fi∶I→I(i=1,…n)连续，则

(1)Fi是f的下降组 ⟺f=F1×F2×…Fn；

(2)若f是可降映射，则f的下降组是唯一的；

证明：(1)的证明见参考文献[8]，(2)，(3)，(4)的证明由(1)很容易推出，(5)由(4)很容易得到。

引理3.2 设Fi(i=1,…n)是f的下降组，f∈C0(Xn)，z=(z1,z2…zn)∈Xn，则

(1)设x=(x1,x2…xn)∈Xn，z∈w(x,f) ⟺zi∈w(xi,Fi)(i=1,2,…n)。

(2)z∈∧(f)⟺zi∈∧(F)(i=1,2,…n)，其中∧(·)代表P(·)，R(·)，Ω(·)，EP(·)，W(·)。

证明：(1)的证明类似参考文献[9]的方法；(2)Ω(·)的证明见参考文献[10]，P(·)的证明见参考文献[11]，R(·)证明方法与参考文献[11]类似，EP(·)可由P(·)很容易推出；W(·)可由引理3.2(1)很容易得出。

yi∈V(Zi)∩R(Fi)(i=1,2,…n)

其他的证明方法与上面类似，在这里省略。

引理3.4设Fi(i=1,2,…n)是f的下降组，f∈C0(Xn)，则∧(f)是闭集⟺∧(Fi)是闭集(i=1,2,…n)。∧(·)代表P(·)，R(·)，AP(·)。

故z∈P(f)，因此P(f)是闭集,故∧(f)是闭集⟺∧(Fi)是闭集。

其他的证明方法与上面类似，在这里省略。

4区间I=[0,1]上一些结论

[2]、[5]、[12]给出了区间上连续自映射f的9个结论，结论如下：

引理4.7 设J⊆I是开区间，并且J∩P(f)=∅，则J∩R(f)=∅。

引理4.8W(f)是闭集。

引理4.9 若x∈Ω(f)∩EP(f)，则对任意的奇数m>1，都有x∈Ω(fm)。

5主要定理

现在将区间这些结论推广到N维单体上，设f∈C0(Xn)，Fi(i=1,2,…n)是f的下降组，则有以下结论。

由引理4.2知，Orb(zi,Fi)是无限集。由引理3.1(4)知，∀m≥1，有

因此Orb(z,f)是无限集。

定理5.4AP(f)是闭集⟺R(f)是闭集。

引理3.2(2)知，z∈Ω(f∣Ω(f))。

另一方面：z=(z1,z2…zn)∈Ω(f∣Ω(f))，由引理3.2(2)和引理4.5知，

证明：设z=(z1,z2…zn)∈Ω(f)，由引理3.2(2)和引理4.6知

定理5.8W(f)是闭集。

由引理3.2(2)可得，z∈W(f)， 故W(f)是闭集。

定理5.9 若z∈Ω(f)∩EP(f)，则对任意奇数m>1，都有z∈Ω(fm)。

证明：设z=(z1,z2…zn)∈Ω(f)∩EP(f)，则有zi∈Ω(Fi)∩EP(Fi)(i=1,2,…n)。

[参考文献]

[1] 张仲景, 熊金成.函数迭代与一维动力系统[M].成都: 四川教育出版社, 1992.

[2] 熊金成.线段映射的动力体系: 非游荡集, 拓扑熵以及混乱[J].数学进展, 1988, 17(1): 1-11.

[3] Block L S, Coppel W A.Dynamics in one dimension[M].Berlin: Springer-Verlag, 1992.

[4] 孙太祥, 席鸿建, 张更容，等.树映射的动力学[M].南宁: 广西科学技术出版社, 2011.

[5] 廖公夫, 王立冬, 范钦杰.映射迭代与混沌动力系统[M].北京: 科学出版社, 2013.

[6] 金渝光.一类二维自映射无异状点的又一充要条件[J].重庆师范大学学报(自然科学版),1994,11(1):12-15.

[7] 杜瑞瑾, 金渝光, 李梅霞.关于一类维自映射的周期点集[J].重庆工商大学学学报(自然科学版), 2006,23(1): 12-14.

[8] 黎日松.可降映射的一些动力学性质[J].太原理工大学学报: 2006, 37(4): 498-500.

[9] 杜瑞瑾.一类n维自映射有异状点的充要条件[J].哈尔滨商业大学学报(自然科学版), 2006,22(4):124-125.

[10] 斯琴巴特尔.也谈单位正方形到自身的一类映射的中心深度[J].内蒙古民族师院学报(自然科学版),1996, 11(2): 131-132.

[11] 晏炳刚.可降映射的混沌集与渐进周期点[J].河北工程大学学报(自然科学版), 2007, 24(3): 101-103.

[12] 周作领.一维动力系统[J].数学季刊, 1988, 3(1): 42-65.

[13] 熊金成.线段映射的动力体系:非游荡集, 拓扑熵以及混乱[J].数学进展, 1988,17(1):1-11.