“任意角的三角函数”教学分析

孟莹

选自教材：人教版（A版）《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》，1.2.1任意角的三角函数，本节课为第一课时。下面我将分别从教学内容分析、教学目标设计、学生情况分析、教学策略设计四个方面对这节课进行分析和说明。

一、教学内容分析

三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用。本节课首先学习任意角三角函数的定义，新教材改变了过去习惯用角的终边上的点的坐标的“比值”来定义的做法，转为利用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数。新的定义可以更好地反映三角函数的本质，使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，也为后续学习带来方便，从这个定义可以更加方便地推导同角三角函数的基本关系、诱导公式、和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；单位圆为讨论三角函数图象与性质提供了很好的直观载体。因此，学生理解和掌握任意角三角函数的定义是学好本章的基础。

本节课是任意角的三角函数第一课时，属概念教学。教材首先以锐角三角函数为引子，通过“思考”，提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题，以引导学生回忆锐角的三角函数的概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角的三角函数的意义，从而为定义任意角的三角函数奠定基础。然后再“特殊化”引出用单位圆上的点的坐标表示锐角的三角函数的结论，在此基础上，再定义任意角的三角函数。

在给出了三角函数的定义后，教科书没有直接给出他们定义域和函数值的正负，而是设置了“探究”，留给学生主动学习的空间，引导学生通过自己的思维活动得出结论。因此，我认为本节课的教学重点是：

1.任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

2.三角函数在各个象限数值的符号。

二、教学目标设计

根据普通高中数学新课程标准对本节课的要求、本节课教材的特点，我认为通过本节课的教学要达到如下目标：

1.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义，会初步应用定义解决与求三角函数值有关的一些简单问题。

2.根据任意角三角函数的定义探究其定义域、函数值的符号，体会学习的乐趣。

3.经历将锐角的三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义的探究过程，体会数形结合的思想

三、学生情况分析

1.已有认知基础

此前，学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数（正弦、余弦、正切）有一定的了解，并且学生刚刚学习了任意角与弧度制，也初步形成了利用直角坐标系来研究任意角的意识。因此本课从初中锐角三角函数的定义出发，过渡到把锐角置于直角坐标系中，学生具备了知识储备和认知能力，符合知识的生成过程。

2.问题和困难

学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，没有坐标系的参与，其研究目的是为解直角三角形服务。因此习惯了直观用有关边长的比值来表示锐角三角函数，对锐角三角函数的函数实质的认识并不深刻。所以用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，进一步用单位圆上的点的坐标表示锐角三角函数，与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验也有一定距离。

在借助单位圆将锐角三角函数定义推广到任意角的三角函数定义时，与学生在数学1的学习中建立起来的经验也有距离。学生熟悉的函数是实数与实數的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度制）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度制）到实数（横坐标或纵坐标或比值）的对应，这就会给学生的理解造成一定困难。

因此，我认为本节课的教学难点是：

（1）用单位圆上点的坐标刻画三角函数。

（2）把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

突破难点的方法与措施：

（1）建立联系，稳步推进。先建立直角三角形中的锐角与第一象限角的联系，再完成用角终边上点的坐标表示锐角的三角函数。引入单位圆后，让学生体会单位圆的作用，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数。

（2）紧扣核心知识，加强直观演示。首先，在锐角三角函数的基础上紧扣函数的定义，让学生体会变量之间的依赖关系和对应关系，然后在任意角的三角函数定义得出后，再讨论变量之间的关系。同时，在例题和练习的分析和解决过程中可以进一步加深理解。

四、教学策略分析

根据本节课教学内容的特点和学生的实际，我准备采用 “体验、沟通、合作、探究”与教师讲授相结合的启发式教学方法，并辅以多媒体演示进行教学。

在教学中让学生经历将已知知识进行转化—特殊化—一般化的学习过程。降低认知台阶。其次围绕学习目标设置了一系列符合学生认知规律的问题情景，将问题分解、具体化，通过具体认识一般。例题和练习解题思路求同，强化定义作用。

对于知识所蕴含的思想方法和知识生成的思维过程，辅以动画演示，力求帮助学生主动思考，体会定义产生、发展的过程。由于研究范围的改变，利用几何画板更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。这些都是在本课时学习之后应该取得的认知方面的进步。

本节课采用“启发探索、讲练结合”的教学方法，重在让学生体验新知识的发生过程，体会在任意三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的，环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标，培养了学生数形结合的思想。基于以上教学分析，我将完成“任意角的三角函数”的教学设计。endprint