非奇异H-矩阵的新判定*

张争争， 张 娟

(湘潭大学数学系，湖南 湘潭 411105)

0 引 言

近年来，由于非奇异H-矩阵在数值代数，神经网络系统的稳定性及控制论等领域得到广泛应用而受到人们的普遍关注.然而，非奇异H-矩阵的判定却较为困难.国内外的许多学者对非奇异H-矩阵做了深入研究[1-8].在文献[1]的基础上进行了改进和推广.

若不可约矩阵A是α-对角占优矩阵且至少有一个严格不等式成立，那么称A为不可约α-对角占优矩阵.若A是α-对角占优矩阵，且对等式成立的下标i均存在非零元素链aii1，ai1i2，…，aitj，|ajj|>αΛj(A)+(1-α)Qj(A)成立，则称A是非零元素链α-对角占优矩阵.记：

N1={i∈N：0<|aii|=αΛi(A)+(1-α)Qi(A)}

N2={i∈N：0<|aii|<αΛi(A)+(1-α)Qi(A)}

N3={i∈N：|aii|>αΛi(A)+(1-α)Qi(A)}.

文献[1]有结论：设A=(aij)∈Cn×n，记

若对任意i∈N1，存在t∈N2∪N3，使得ait≠0，并且对任意i∈N2，有

(1)

1)A为严格α-对角占优矩阵；

2)A为不可约α-对角占优矩阵，且至少有一严格对角占优行；

3)A为具有非零元素链α-对角占优矩阵.

1 主要结果

首先引进如下记号：

i∈N3，p=1，2，…，

定理1 设A=(aij)∈Cn×n，α∈(0，1]，若对任意i∈N1存在t∈N2∪N3，使得ait≠0，并且对任意i∈N2，存在正整数p使下式成立：

(2)

(3)

构造正对角矩阵D=diag(d1，d2，…，dn)，其中

令B=AD=(bij)n×n.

对∀i∈N1，由

可得：

αΛi(B)+(1-α)Qi(B)=

1和式(3)可得：

αΛi(B)+(1-α)Qi(B)=

|bii|.

αΛi(B)+(1-α)Qi(B)=

注：当α=1，p=1时，就是文献[1]中定理1的主要结果.

定理2 设A=(aij)∈Cn×n，α∈(0，1]为不可约矩阵，若对任意i∈N2，存在正整数p使下式成立：

(4)

证明：

由于A是不可约矩阵，故|aij|(∀i∈K⊂N，j∈N/K)不全为零.构造正对角矩阵D=diag(d1，d2，…，dn)，其中

注：当α=1，p=1时，就是文献[1]中定理2的主要结果.

2 数值例子

例： 设

[1] 郭丽.非奇异H-矩阵的判定[J].吉林大学学报(理学版)，2010(2)： 226-228

GUO L.Criteria for Nonsingular H-Matrices[J].Journal of Jilin University (Science Edition)，2010(2)： 226-228

[2] 庹清，朱砾，刘建州.一类非奇异H-矩阵判定的新条件[J].计算数学，2008，30(2)： 177-182

TUO Q，ZHU L，LIU J Z.One Type of New Criteria Conditions for Nonsingular H-Matrices[J].Math Numer Sin，2008，30(2)： 177-182

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[4] VARGA R S.On Recurring Theorems on Diagonal

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