一致收敛性及应用初步

缪彩花+何天荣

【摘 要】本文对函数项级数一致收敛性的判别法进行介绍和举例，还介绍了一致收敛函数项级数性质的初步应用，有助于加深对一致收敛的理解，体会一致收敛的作用，增强数学的应用意识。

【关键词】级数；一致收敛；判别法

函数项级数具有高度的抽象性，特别是函数项级数的一致收敛性更是教学和学习中的难点，以下我们介绍函数项级数一致收敛性的判别方法及其初步应用。

一、函数项级数一致收敛性的判别法

1.M判别法

M判别法的适用范围虽然较窄，但当它适用時，用起来却很方便。

如对于函数项级数 ，x∈[-1，1]。由于对任意的x∈[-1，1]有u （x）≤ ，而级数 收敛，所以由M判别法知原函数项级数在[-1，1]上一致收敛。该函数项级数也可用“裂项相消法”去求部分和序列，证明其一致收敛，但和M判别法比较，就可以发现M判别法简单得多。

2.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法均适用于讨论通项是两个函数相乘的函数项级数，如对于函数项级数 ，x∈[0，+∞），记u （x）= ，v （x）= ， u （x）在[0，+∞）上一致收敛。∨x∈[0，+∞），函数列{v （x）}是单调减少的，又因为v （x）≤1对一切x∈[0，+∞）和任意n∈N都成立，所以{v （x）}在[0，+∞）一致有界，由阿贝尔判别法知函数项级数 u （x）v （x）在[0，+∞）上一致收敛。

3.柯西准则及其推论

判别函数项级数一致收敛的M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法都是充分性判别法，不能用它们来判别函数项级数不一致收敛。判别函数项级数不一致收敛可应用柯西准则及其推论。对于函数项级数 2 sin（x/3 ），x∈（0，+∞），记u （x）=2 sin（x/3 ），取ε =1，∨N>0， n>N及x =π3 /2∈（0，+∞）有u （x ）=2 >1，由此得{u （x）}在（0，+∞）上不一致收敛于零，由柯西准则的推论得：函数项级数 2 sin（x/3 ）在（0，+∞）上不一致收敛。

二、和函数分析性质的应用

函数项级数的和函数并不一定能够直接求出解析式，但根据一致收敛的函数项级数的性质，在一致收敛的条件下，函数项级数的每一项的分析性质可以传递给和函数，于是我们任然可以讨论和函数的连续性、可微性以及可积性，这为我们讨论和函数的分析性质带来了很大的方便。

需要特别说明的是：要证明和函数S（x）= u （x）在区间I上连续，但函数项级数 u （x）在I上并不一致收敛时，便不能直接用和函数连续性定理，因为条件不满足。此时可用下述方法处理：若对任意取定的x ∈I，可取到区间J I（x 在J的内部），使 u （x）在J上一致收敛，则在u （x）于J连续时，由和函数的连续性定理，就可保证和函数S（x）在J上连续，从而在x 处连续。再由x 的任意性，可得S（x）在I上连续。S（x）的可微性也可类似处理。

【参考文献】

[1]华罗庚.高等数学引论[M].科学出版社，1964

[2]石会萍.函数项级数非一致收敛判别方法的归纳分析[J].沧州师范学院学报，2012

（项目名称： 丽江师范高等专科学校质量工程项目特色课程《数学分析》—专业必修课 项目编号：XJ102016211）endprint