级数在近似计算中的应用

覃小玉

1.利用函数的幂级数的展开式求函数近似值

幂级数是无穷级数的一种，它是以某个幂级数展开式为基础，把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项 估计。比如许多初等函数如 ， ， ， ， ， ， 在一定的实区间上都可以进行幂级数展开，进行近似计算，通过控制取幂级数项数的多少来达到我们需要的精确度。

例1：计算 的值，精确到小数第四位。

利用对数的幂级数展开式，作对数的近似计算.根据对数的特征，只要计算出正整数的特征，那么由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了.

以 的迈克劳林级数发点

解：如果利用 的展开式：当 时， .所以 ，理论上可计算 ，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第 项的值 .欲使 ， 至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，下面用一个收敛较快的幂级数来计算 .用 减去

其差是 .令 ，解出 代入上式，得 ，其误差

.

如要精确到小数第四位，则取 ，这时

故得出

最终求得对数 的精确到小数第四位为0.6931。

2.利用函数的幂级数的展开式求定积分的近似值

利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，那么把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值。

例2：计算 的近似值，精确到 。

由于 ，因此所给积分不是广义积分，如果定义 在 处的值为1，那么它在积分区间 上连续.由于 的原函数不能用初等函数表示，因此需要通过幂级数展开式来计算.

解：利用正弦函数的展开式 ，两边同除以 ，得到

再逐项积分

这是收敛的交错级数，其误差 ，取 ，有 ，

故

3.利用泰勒级数计算函数值的近似值

目前解决非线性问题的一种有效工具是泰勒级数，即利用泰勒展开式一阶近似，将非线性问题线性化，达到近似求解的目的。如若一阶近似达不到近似精度标准的话，还可以在泰勒级数展开式中取更高的阶，在实际问题中我们经常会使用级数的二阶多项式求复杂问题的近似解。

例3：在我们日常生活中的路面结构中，路面结构是在不断遭受载荷的重压而产生振动，以致遭受破坏的，研究发现其振动是以非线性的形式进行的.

我们已知的线性振动形式为： 对于非线性振动负荷和变形的关系为： ，因为这里的 未知，所以我们可以借助于泰勒级数，将上式展开为： ，使其成为线性函数，进而分析出符合硬弹簧特性，经验证拟合水泥振动特性，达到了令人满意的效果。

5.交错级数在近似计算中是应用

给定项数，求近似值并估计精度，通过估计余项，确定精度或项数，若余项是交错级数，则可用余和的首项来解决。

例4：利用 计算 的近似值，并估计误差.

解：

其误差不超过 。

6.几何级数的某些应用

利用几何级数，我们也可以把一些函数级数和定积分级数变换成另一种形式，然后再利用幂级数或者泰勒公式来对这个级数进行求解，从而算出这个级数的近似计算。如：

在几何级数 中，我们把 代替 得 ，再逐项积分得

7.调和级数的近似计算

自然数的倒数组成的数列，称为调和数列，即通项为 的级数： 。因为这数组是发散的，所以没有求和公式，只有一个求近似值的求解方法： （ 一个无理数，称作欧拉初始，专为调和级数所用）。

其中0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数。

8.总结

级数理论和微积分学两个分支共同组成是分析学的，这两个分支一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。本文是对级数在近似计算中应用的研究，主要通过各类级数在近似计算中的应用做研究，首先是对级数的定义、性质做出论述，然后分别从幂级数的展开式、泰勒级数、傅里叶级数、无穷级数、正项级数、交错级数等对函数、定积分求近似值。在求解的過程中证明级数在近似计算中有广泛的作用。