数形结合在高中数学教学中的应用举例

摘 要：数学研究中数与形是有联系的，运用他们之间的联系来解决数学问题，我们称之为数形结合。数形结合法作为一种重要的数学思想方法，在数学教学中被广泛应用。笔者在此就数形结合法在概率与统计中的应用，以及在求参变量的范围教学中的应用列举数学实例进行了说明。

关键词：数形结合；数学教学；应用举例

一、 在概率与统计中的应用

例1 设随机变量ξ～N（2，σ2），且P（2<ξ<4）=0.3，则P（ξ<0）= .

分析：由正态曲线性质知，正态曲线（如图1）的对称轴是x=μ=2，正态曲线下（x轴上）面积为1，故P（ξ>2）=P（ξ<2）=0.5。

又P（2<ξ<4）=0.3（阴影部分的面积），故P（ξ>4）=0.2。再由对称轴是x=2得，P（ξ<0）=P（ξ>4）=0.5。

例2 已知正态总体的数据落在（-3，-1）里的概率和落在（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为 .

分析：正态曲线如图2，依题意，阴影部分的面积相等由正态曲线的对称性得对称轴为x=-1+32=1，故μ=1，即数学期望Eξ=1。

例3 设随机变量ξ的概率密度函数为

f（x）=x （0≤x≤1）

-x+2 （1

0 （x>2或x<-2）

则落在区间（0.3，0.7）内的概率值为 .

分析：随机变量 ξ 的概率密度曲线如图3，则所求概率值等于图中阴影部分（即梯形）的面積，故易得答案为（0.3+0.7）×0.42=0.2。

二、 数形结合在求参变量范围教学中的应用

例4 曲线y=1+4-x2（-2≤x≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（ ）

A. 512，+∞

B. 512，34

C. 0，512

D. 13，34

分析：y=1+4-x2（-2≤x≤2）表示的曲线是圆x2+（y-1）2=4的上半圆（如图4）；而k是过定点P（2，4）的直线y=k（x-2）+4的斜率。若设PT与半圆切于第二象限，记直线PT与直线PA的斜率分别为k1、k2，则所求k的取值范围是k1

例5 集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，则a的最值范围是（ ）

A. a≥1或a≤1B. a>1或a<-1

C. -1≤a≤1D. 以上答案都不对

分析：集合A表示过点（0，1）的一束直线，集合B表示第一、二象限的角平分线（如图5）。易得当a=±1时集合A表示的直线与集合B表示的直线平行，再由斜率与倾斜角的关系即可选A。

作者简介：

李金锭，辽宁省本溪市，本溪市高级中学。