老瓶常装新酒 老题邂逅新解

丁永

摘 要：在解题教学中，教师运用变式或是一题多解进行解题教学是常有的事情，也是课堂教学的常用手段之一，尤其是在中考复习中更为常见。中考复习时，笔者在中考指导用书上遇到了一道老题，本想把已有的解法和参考答案展示给学生即可。孰知，在课堂上学生进行思考时，引发了学生思维的激烈碰撞，总结出了出乎意料的多种解法。现进行整理总结，以图为今后的解题教学提供研究素材。

关键词：初中数学；解题教学；解题方法

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）23-127-1

一、试题呈现

《南京市中考指导用书（2016版）》第十章专题复习例9。如图所示：

（1）过△ABC的顶点A能作1条直线把△ABC的面积等分吗？

（2）过梯形ABCD的顶点A能作1条直线把梯形ABCD的面积等分吗？

（3）过四边形ABCD的顶点A能作1条直线把四边形ABCD的面积等分吗？

此题收录在专题一：常见的数学思想方法之化归与转化。题目的三问层次递进，立意很好，化规与转化思想得到充分的体现。

参考答案

《南京市中考指导用书（2016版）》给出的参考答案如下：

解：（1）如图①，取BC的中点P，作直线AP，把△ABC的面积等分。

（2）如图②，取CD的中点M，连接AM与BC的延长线交于点N，取BN的中点P，直线AP把梯形ABCD的面积等分。

（3）如图③，连接AC，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于点N，连接AN，取BN的中点P，直线AP把四边形ABCD的面积等分。

二、与新解的完美邂逅

1.利用平行间之间距离处处相等

作法：连接AC、BD，取BD中点E，作EF∥AC交BC于点F，直线AF即为所求直线。

思路：由图①可知，三角形的中线可以等分三角形的面积，所以连接BD，转化为两个三角形。取BD中点E，连接AE、CE，则S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE，所以S△ABE+S△CBE=S△ADE+S△CDE=12S四边形ABCD。连接AC，作EF∥AC交BC于点F，则S△AFC=S△AEC，所以S△AFCD=S△ADE+SCDE=12S四边形ABCD，因此直线AF即为所求直线。

2.巧用数量关系

作法：作DE∥AB交BC于点E，取EC中点F，则直线AF即为所求直线。

思路：因为AD∥C、DE∥AB，所以把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形，易得AD=BE。取EC中点F，则BF=BE+EF=12（AD+BE）+12EC=12（AD+BE+EC）=12（AD+BC）。

所以S△ABF=12BF·h=12×[12（AD+BC）]·h

=12S四边形ABCD（h为四边形ABCD的高）。

3.延长梯形两腰得三角形

作法：延长BA、CD交于点，取BC中点F，连EF交AD于点G，连接GF并取其中点H，直线AH即为所求直线。

思路：因为AD∥BC，所以△EAG相似于△EBF，所以EGEF=AGBF。同理可得，EGEF=DGCF，所以AGBF=DGCF。又因为F是BC中点，即BF=FC，所以AG=DG，即G为AD中点。所以F、G是AD、BC中点，所以S四边形ABFG=12S四边形ABCD，取GF中点H，连接AH并延长交BC于点I。易得，△AGH≌△IFH，所以S△AGH=S△IFH，所以S△ABI=S四边形ABFG=12S四边形ABCD。

三、反思与收获

1.解题是教学过程的基本实践活动。因为基础知识要通过解题来巩固，解题方法也要通过实践来强化，这道题之所以学生又提出这么多的想法，就是在这样的解題实践过程中产生的，同时学生的思维品质在这个过程中也得到了提高、优化。

2.解题是教师专业成长的必不可少的前提。在教学中，教师应该更多地去追求一题多解，这样才能打开自己的思维。也只有教师有一题多解的意识和能力，才能培养出具备一题多解能力的学生。教师对于解题教学的思考还要进一步深入研究，一题多解的教学意义和实践意义往往要比讲题大很多。

3.以学生为主体，更多的关注学生。对于学生而言，此乃新题，绝大多数学生应该是没有见过，学生对此题有着全新的思考，老师不应该只关注自己的教学，更应关注学生的思维的形成。此题虽然花了很多时间，但给了学生更多的思考的过程，学生的思维有了更多的碰撞的机会，也就擦出了这么多精彩的火花。endprint