商榷几道全国高中数学联赛试题及其解答

题1（2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题第1题）若函数y=log2016（x2-ax+65）的值域为R+，那么a的取值范围是.

参考答案（-16，16）.由题意可知，要使函数y=log2016（x2-ax+65）的值域为R+，只需x2-ax+65>1，即x2-ax+64>0，所以Δ=a2-4×64<0，即a∈（-16，16）.

剖析当a=0时（可得0∈（-16，16）），y=log2016（x2+65）的值域是[log201665，+∞），不满足题设，说明以上答案不对.

应当这样求解：

可得二次函数u=x2-ax+65的判别式Δ=a2-260.

当Δ≥0即a≤-260或a≥260时，开口向上的抛物线u=x2-ax+65与x轴有公共点，从而可得对数log2016（x2-ax+65）中的真数x2-ax+65的取值范围是（0，+∞），所以函数y=log2016（x2-ax+65）的值域是R，此时不满足题设.

当Δ<0即-260

所以所求a的取值范围是.

建议把原题修改为：

修改1若函数y=log2016（x2-ax+65）的值域是R，则a的取值范围是 .

（答案：（-∞，-260）∪（260，+∞）.）

修改2是否存在实数a，使得函数y=log2016（x2-ax+65）的值域是[0，+∞）？答： .

解否.由前面的分析，可得

-260

log201665-a24=0，即a∈.

修正3若函数y=log2016（x2-ax+65）的值域是R+的某个子集，则a的取值范围是 .

解（-260，260）.由前面的分析，可得-260

log201665-a24>0，即a∈（-260，260）.

题2（2011年全国高中数学联赛一试B卷第5题）若△ABC的角A、C满足5（cosA+cosC）+4（cosAcosC+1）=0，则tanA2·tanC2= .

参考答案3.由万能公式，可得

cosA=1-tan2A21+tan2A2，cosC=1-tan2C21+tan2C2.

把它们代入题设后化简，可得tanA2·tanC22=9.

又因为A2，C2都是锐角，所以tanA2·tanC2=3.

剖析下面用两种方法说明题2是道错题：

法1由A、C∈（0，π），可得cosA、cosC∈（-1，1），|cosA|<1，|cosC|<1，|cosAcosC|<1，cosAcosC+1>0.

再由题设中的等式，得cosA+cosC<0，cosAπ-C，A+C>π.

而由三角形内角和定理可知，A+C<π，所以原题是道错题.

法2由A+C2是锐角，得cosA+C2=cosA2cosC2-sinA2sinC2>0，tanA2tanC2<1.

而这与原解法得到的结论tanA2·tanC2=3矛盾！所以满足题设的△ABC不存在.

题3（1）（2011年全国高中数学联赛贵州省预赛第8题）定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，fx3=12f（x），且当0≤x1

A.12B.116 C.132 D.164

参考答案（1）1128.在f（x）+f（1-x）=1中：令x=0，可得f（1）=1，f13=12；再令x=13，可得f23=12.

因为当0≤x1

由fx3=12f（x）即f（x）=12f（3x），可得

f12011=12f32011=122f322011=123f332011

=…=126f362011.

又由13≤362011≤23，可得f362011=12，所以f12011=126·12=1128.

（2）C.在f（x）+f（1-x）=1中：令x=0，可得f（1）=1，f15=12；再令x=15，可得f45=12.

因為当0≤x1

由fx5=12f（x）即f（x）=12f（5x），可得

f12007=12f52007=122f522007=123f532007

=124f542007，

又由15≤542007≤45，可得f542007=12，所以f12007=124·12=132.

剖析题3的两道小题如出一辙，且题设中的“f（0）=0”均是多余的：因为在题设中的第三个等式（分别是fx3=12f（x），fx5=12f（x））中令x=0均可得到f（0）=0.

并且笔者还发现题3的两道小题均是错题——满足题设的函数均不存在：

结论不存在函数f（x）同时满足：①定义域是R且f（x）+f（1-x）=1 ；②fxn=12f（x）（n≥3，n∈N）；③当0≤x1

证明由②可得f（0）=0；再由①可得f（1）=1；又由②可得f1n=12.

在①中令x=1n，可得fn-1n=12.

再由③可得，当1n≤x≤n-1n时，f（x）=12.

当1≤x≤n-1时，1n≤xn≤n-1n，所以fxn=12 ，再由②可得，f（x）=2fxn=1.

当2-n≤x≤0时，1≤1-x≤n-1，所以f（1-x）=1 ，再由①可得，f（x）=0.

当n（2-n）≤x≤0时，2-n≤xn≤0，所以fxn=0，再由②可得，f（x）=0.

当n2（2-n）≤x≤0时，n（2-n）≤xn≤0，所以fxn=0，再由②可得，f（x）=0.

……一般地，容易对正整数k用数学归纳法证得：当nk（2-n）≤x≤0时，f（x）=0.

x∈（-∞，0]，选正整数k≥logn（1-x），可得nk≥1-x≥-x，nk（2-n）≤-nk≤x，所以当x≤0时，f（x）=0.

当x≥1时，1-x≤0，所以f（1-x）=0，再由①可得，f（x）=1.

所以当x≥n时，fxn=1=f（x），这与②矛盾！所以欲证结论成立.

注在编拟抽象函数题时，要注意函数的存在性[1].

题4（2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题）已知动点A、B在椭圆x28+y24=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（-1，0）.

（1）求线段AB中点M的轨迹方程；

（2）求线段AB长度的最大值.

文献[2]、[3]、[4]均给出了题4及其解答（它们完全相同），笔者发现其解答有误，在文献[5]中给出了其完整解答.

参考文献

[1]甘志国.编拟习题时应注意问题的存在性[J].中学数学（高中），2015（1）：35-38.

[2]中國数学会普及工作委员会组编.2015高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）[Z].上海：华东师范大学出版社，2014.

[3]吴中麟提供.2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛[J].中等数学，2015（3）：34-38.

[4]武增明.解析几何中两动点间的距离的最值类型[J].中学数学杂志，2016（1）：36-39.

[5]甘志国.对2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第三题的完整解答[J].中学数学杂志，2016（5）：63.endprint