反证法在初中数学解题中的应用

张本陆

【摘 要】作为一种常见的解题法，反证法在某些复杂数学问题解题中常常可以起到画龙点睛的作用，有利于简化问题，提升解题的准确度，尤其适用于某些证明题的求解。本文以反证法为研究对象，着重就其在初中数学问题求解中的应用进行了深入探讨。

【关键词】初中数学;解题;反证法

伟大的物理学家牛顿将反证法比作是一把精良的思维武器，充分凸显了其重要性。在初中数学学习中，反证法不仅可以应用于各种证明题的求解，也有助于提升学生的逻辑思维能力。特别是在某些无法直接或根本无法正面证明某个命题的时候，可以应用反证法来对待证命题的反面进行证明，借此推导出该命题的准确性与否。因此，如何引导学生熟练地应用反证法来解决数学问题值得深入探讨。

1.反证法在解题中应用的基本流程

在解题中应用反证法的时候，一般可以归结为三个基本步骤：“反设”“归谬”和“结论”，这三者相互联系，共同构成了反证法应用的整个流程。首先，“反设”是应用反证法解题的基础，其正确性会直接影响后续解题结果准确性和效率。在解题之前，需要对题设条件、结论等相关信息进行仔细调查和了解，确保可以全面地找出与结论相反的假设，最后再肯定或否定结论，这个过程就是“反设”环节。其次，“归谬”是应用反证法解题的关键环节，也是最难的一个环节。“归谬”顾名思义就是借助反设来制造冲突或矛盾，是应用反证法的一个核心要素，这个过程中需要明确反设后条件部分和结论方面的推导方向。最后，“结论”是得出反证法应用结果的最终环节，其所得到的冲突或矛盾并非全新的理论，而是只有反设条件成立，相应命题结论方可成立的结论。如此一来，就借助反证法完成了证明。纵观反证法在解题中应用的三个环节，可知导出假设和结论之间的矛盾才是应用反证法的关键，常见的矛盾形式主要包括自相矛盾，或者与定理、定律、已知条件或假设条件矛盾等。此外，在解题中应用反证法的时候，需要注意如下要点：其一，要正确否定结论，这是正确应用反证法来解题的基础和前提。比如，“最多有一个”代指“只有一个”或“没有一个”，其反面的结论则是指“至少有两个”，“大于”反面结论则是“不大于”等等。其二，要明确反证法推理的特征，具体就是对结论进行否定后并推导出存在矛盾。虽然矛盾是否存在具有不确定性，但是却可以结合相应证明题类型来进行预先判定推到方向。比如，对于平面几何问题，一般考虑其是否满足相应的定理或公理等。

2.反证法在解题中应用的案例分析

反证法在解题中的应用，主要范围为各类证明题的正面，常见的主要包括如下几类：

（1）在证明初始命题或基本定理中的应用。在初中数学学习中，许多数学初始命题或基本定理都是借助反证法来进行证明的。比如，平面平行的判定定理、“过平面外一点只有平面的一条垂线”等。

例1：已知某△ABC的∠C=90°，∠A、∠B和∠C三个角所对应的边长依次为a、b和c，试证明c■=a■+b■。

解析：该道题本质上就是一道直角三角形勾股弦定理的证明题，这时候无法直接从正面进行证明，所以可以转换思路，从侧面应用反证法来进行证明。

证明：假定c■≠a■+b■，那么由a■+b■>0，可以假定a■+b■=c'■，并且可得：c'>a>0，c'>b>0，且（a+b）■=a■+b■+2ab=c'■+2ab>c'■，从而可得：a+b>c'，这同假定的条件相互矛盾，所以可知假定的条件不成立，即：c■=a■+b■。

（2）在存在性问题证明中的应用。在初中数学学习过程中，“存在性”证明问题也比较常见，这类数学问题也非常适宜采用反证法来进行解决。

例2：已知某三角形ABC的三边满足b=（a+b）/2，试证：该三角形中至少有两个角不超过60°。

解析：该道题是一道典型的证明题，且由于没有给出具体的三角形边长数值，均以参数进行表示，所以无法通过直接计算来证明，这时候可以采用反证法来进行反证。

证明：假定该三角形ABC中至少有两个角大于60°。由于根据三角形内角和为180°，所以可知三角形中最多有两个角超过60°，这时候结合假定条件，可知所假设条件等价于“三角形中有且仅有两个角大于60°”这个命题，这时候假定∠A和∠C两个角>60°。那么可知：cosA<■，cosC<■，之后由余弦定理公式可得：c■=a■+b■-2abcosC=a■+b■-ab，再联合a■=b■+c■-abccosA>b■+c■-bc，可得：2b■<ba+bc，即：b<（a+c）/2，这同题目中所给定的已知条件矛盾，所以所提假设不成立，这样就可以证明该三角形中至少有两个角不超过60°。

（3）在无限性问题证明中的应用。在初中数学学习过程中，“无限性”证明问题也比较常见，即涉及到“无限”或“无穷”等概念的数学题，这类数学问题无法直接从正面入手进行解决，但是非常适宜采用反证法来进行解决。

例3：求证：■是无理数。

解析：该道题干信息非常简短，但是却无法直接从正面来进行证明，这时候就可以应用反证法来进行求解。先假定■不是無理数，也就是说■是有理数，这时候就可以将其表示成两个整数之比，假定■=■，p≠0，且其中q和p互素，那么可得■p=q，即2p■=q■。如果为q■偶数，那么q也势必会为偶数，这时候可以假定q=2k，将其代入上式后可得：2p■=4k■即p■=2k■，这时候再假定p也为偶数。由于p和q均为偶数，且公约数为2，这同前面假设中p和q互素相矛盾，所以假设不成立，即■不是有理数，而应该是无理数。

总之，反证法是一种重要的解题法，其在某些初中数学证明题中有广泛应用空间，同时也可以发展学生的逻辑思维，提升学生解题能力。本文主要对常见的三类证明题中反证法的应用进行了论述，但是其在其他类证明题中也可以进行应用，具体需要结合实际的解题需求，灵活应用反证法来进行解题。