二元Jensen不等式的应用

郑发美

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

0 引言及预备知识

不等式在数学的许多分支有着重要的应用,丹麦数学家Jensen[1]在20世纪初建立的Jensen不等式，引起了很多学者的关注.如Kin[2]用Jensen不等式解决了一些不等式的证明, 王良成等[3]研究了几何凸函数Jensen不等式的加细问题,陈宴祥等[4]探讨了代数函数的Jensen不等式的加细与推广,江龙[5]探索了基于g-期望的关于二元函数的Jensen不等式,方逵[6]给出了二元凸函数的几个判别条件, 林玎等[7]研究了Jensen不等式的几个推论及其应用, 黄大荣等[8]给出关于Jensen积分不等式的推广, Long[9]介绍倒向随机微分方程下的Jensen 不等式;以上推广与应用主要针对一元情况,对于一些一元离散型不等式,可以通过构造一元凸函数等方法给予证明. 但对于二元及二元以上的离散型不等式较难证明.本文利用二元Jensen不等式,证明了一个重要的二元离散不等式.

下面给出Jensen不等式的二元情况[5,6]. 首先把一元凸函数及其性质平行地推广到二元情形.

定义1 设函数f(x,y)为定义在凸区域D上的二元函数,若∀(x1,y1),(x2,y2)∈D,∀μ∈(0,1),有

f(μx1+(1-μ)x2),μy1+(1-μ)y2)≤μf(x1,y1)+(1-μ)f(x2,y2),

则称函数f(x,y)为凸区域D上的二元凸函数.

引理1 设函数f(x,y)在凸区域D上有连续的一阶偏导数,那么f(x,y)是D上的凸函数的充要条件是∀(x1,y1),(x2,y2)∈D,有

由引理1, 易证下列引理

下面给出Jensen不等式的二元及二元以上情形的推广.

运用数学归纳法即可证明.

证明略.

注类似地,可以给出推广的Jensen不等式的n元形式.

1 主要结果

Hu[10]利用二元离散不等式证明了著名的Boesch定理.下面利用推广的Jensen不等式证明如下二元离散不等式.

(1)

(2)

等式成立当且仅当∀i∈{1,2,…,k},有mni=min.

证明只证明式(1), 式(2)同理可证.

是半正定的,因此由引理2, 函数f(x,y)是D上的二元凸函数.

(3)

下面证明式(1)中的等式成立当且仅当∀i∈{1,2,…,k}, 有mni=min.

所以

(4)

(i) 若有mi=0,不妨设m1=0, 则n1≠0.

(ii) 若有ni=0,不妨设n1=0, 则m1≠0.

即

而

于是

现在用数学归纳法证明:μ1=μ2=…=μk=μ.

当k=1时,命题显然成立.

当k=l+1时,

由归纳假定知

根据

得

(μl-μ)(1+μl+1)ml+(μl+1-μ)(1+μl)ml+1=0

(5)

由μ1=μ2=…=μl-1=μ,得

n=μm,n1=μm1,n2=μm2,…,nl-1=μml-1,nl=μml,nl+1=μml+1.

于是

μm=n=n1+n2+…+nl-1+nl+nl+1=μ(m1+m2+…+ml-1)+μlml+μl+1ml+1.

则

μ(m-m1-m2-…-ml-1)=μlml+μl+1ml+1,

即

μml+μml+1=μlml+μl+1ml+1,

也即

(μ-μl)ml=(μl+1-μ)ml+1

(6)

[1] Jensen J L W V. Sur les fonctions convexes etles inégalités entre les valeurs moyennes[J].Acta Mathematica,1906,30 (1):175-193.

[2] Kin Y L. Jensen’s Inequality[J].Mathematical Excalibur,2000,5(4):1-4.

[3] 王良成, 白海. 关于几何凸函数Jensen不等式的加细[J].数学的实践与认识,2010,40(23):161-164.

[4] 陈宴祥, 罗健英. 代数函数的Jensen不等式的加细与推广[J].四川大学学报(自然科学版),2006,43(1):5-10.

[5] 江龙. 基于g-期望的关于二元函数的Jensen不等式[J].山东大学学报(理学版),2003,38(5):13-17,22.

[6] 方逵, 朱幸辉,刘华富. 二元凸函数的判别条件[J].纯粹数学与应用数学,2008,24(1):97-101.

[7] 林玎, 刘伟. Jensen不等式的几个推论及其应用[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2003(3):28-30.

[8] 黄大荣,李志艳. 关于Jensen不等式的几个推广[J].甘肃教育学院学报(自然科学版),2000,14(2):4-7.

[9] Long J. Jensen’s Inequality for Backward Stochastic Differential Equations[J].Chinese Annals of Mathematics-Series B,2006,27(5):553-564.

[10] Hu M L, Cheng Y X, Xu W D. A Generalization of Boesch′s Theorem[J].Discrete Mathematics,2012,312:1171-1177.