借助几何直观，“以退求进”

江苏省常熟市王庄中心小学 黄 芳

数学知识的形成依赖于几何直观，数学的发展过程也表明，再抽象的数学结论也总能找到相对直观的表征和解释。著名数学家华罗庚教授指出：数无形不直观，形无数难入微。“数形结合”的思想是数学重要的思想，几何直观是数形结合思想的更好体现。他还说：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我们容易看清问题的地方，是学好数学的一个诀窍。”借助几何直观，“以退求进”策略在数学教学中的运用，会让学生真正经历获取知识与方法的过程，知道解决问题的方法是怎么想到的，使数学教学更富有意义，学习经验得以积累和形成，学生知其然，更知其所以然。

一、示意图，化抽象为形象——揭示算理的本质

算理是四则运算的理论依据，是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的，它是计算的原理与依据，而运算法则是四则运算的基本程序和方法。算理不清，算法难以牢固；算法不明，计算技能难以形成，而理解算理、掌握算法的本质就是不仅要知道怎么计算，还要明白为什么这样算——知其然又知其所以然，这使计算教学的根本算理的抽象和算法的直观形成了鲜明的对比。在数的运算教学过程中，可以借助几何直观，以图为载体，巧妙地将算式与直观图相结合，把抽象的算理具体化、形象化，运用直观模型帮助学生理解感知与理解算理。

师：这种算式以前碰到过吗?对于这种新知识的解决，就要用到老师经常说的一句话——最笨的办法有时就是最好的办法。猜猜看这个最笨也是最好的办法是什么？

学生试着想办法……老师点明：最原始的办法就是拿出4个橘子分一分。

出示图：

师：请看，数一数，你能告诉我得数吗？看着图，你还能用哪个算式告诉我答案呢？

学生交流：从图上可以看出可以分给8人。1个橙子分给2人，4个可以分给8人。

展示学生作品：

由此得到：

师过渡：刚才我们研究了整数除以几分之一的计算方法，接下来我们研究整数除以几分之几的计算方法。出示例题：一根绳子4米长，剪成每段米，可以剪成多少段？数量关系：用总米数÷每段的米数。列式：

要求：（1）先在图中分一分，再在图上数出结果并填在括号里。

师揭疑：谁能看着图解释一下为什么

智慧题：甲、乙两人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇的地点离A地4千米，相遇后两人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，两次相遇地点之间相距多少千米？的结果一样呢？

小学阶段，整数除以分数的意义及算理比较抽象，学生理解起来困难较大。一句“最笨的办法有时就是最好的办法”将学习退到最原始而不失重要性的地方，然后教师带领学生将“式”与“图”沟通起来，让学生感受到图和式子之间的联系，化抽象为形象。借助直观理解算式背后蕴含的复杂算理，用数形结合的方法把学生的操作活动经验进行进一步的引领和提升，使学生对知识的内化变得水乳交融，使得“技能”教育自然上升为“能力”的教育。

二、线段图，化复杂为简单——理清数量关系

基础题：超市、银行和学校在阳光大道的同一边。超市距学校550米，银行距学校250米。超市距银行多少米？解决这一问题时，大部分学生只有一种答案：550+250=800（米）。教师如果能引导学生用画线段图的方式表达题意，学生就会有疑惑：超市、银行和学校应该在什么位置呢？用线段图就能清楚、直观地表示出两种不同的情况（如下图）。

数量之间的复杂关系导致学生很难理清数量之间的关系，但是有了图，学生就不难理解：如上图，两人合作走一个全程，甲走了4千米，两人一共合作走了3个全程，甲一共走了4×3=12（千米），所以两次相遇点之间相距12-4-3×2=2（千米）。

直观的线段图不仅可以吸引学生的兴趣，更重要的是借助图形让复杂问题简单化，利于学生抽象出数量关系，建构基本的数学模型，规避错误，有效提高解决问题的效率和正确率，是解决问题的“灵通之术”，更是许多解题高手常用的解题策略，这个桩务必要夯实。

三、构造图，化烦琐为简明——巧妙解决问题

如：计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64。这么烦琐的计算题，如果数形结合，根据数量之间的关系构造出如下图示，就能很快地计算出结果。在此基础上找到规律，就能解决这种类型的所有问题，当学生能一下子说出1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/256的结果时，可以想象得出孩子的成就感有多强。

几何直观具有原始的创造性。数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化返璞归真，这正是数学发展的辩证过程。数学应该借助几何直观，解释启发学生思路，利用直观背景或几何直观帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，为学生创造主动思考的机会。如果教师能在每节课中持续开发“数形结合”的训练点，久而久之，几何直观的种子便能在学生的头脑中生根发芽。