塑数学之魂 显思想之美

黄丹

[摘  要] 数学思想是数学学习的灵魂与精髓，是发现和创造数学的基本源泉，在数学解题方面发挥了非常重要的作用. 在数学解题的过程中，教师科学地引导学生巧妙、灵活地通过数学思想解答数学试题，有利于提高学生解决问题的能力，拓展学生思维.

[关键词] 数学思想;高中数学;解题;应用分析

在高中数学中，解题能力的高低往往是衡量学生数学能力的重要标志之一，在教学中，学生的解题能力也是主要的培养目标. 在习题教学中，渗透数学思想的基本方法是通过分析具体问题，针对不同的问题采用相应的数学思想.

巧用数形结合，践思想之本

将直观图形和抽象的数学语言相结合是数形结合思想的实质，也是数学思想的根本所在，它不仅是一种解决数学问题的基本思路和基本技能，更是揭秘数学本质的根本所在. 在处理数学问题过程中，结合起直观的图形与抽象的语言，达到抽象概念和实际形象的转换与联系的目的. 互相渗透数和形的信息，从而把我们的解题思路打开，从而简单化处理数学问题.

案例1：在方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）中，x∈（0，3），在此范围内方程有且只有一个解，求实数m的取值范围.

解析：等价变形处理对数方程，然后用一元二次方程将其表述出来，从而解决实数解问题，再利用二次函数图像进行求解.

将原方程变形为-x2+3x-m=3-x，即（x-2）2=1-m，其中3-x>0.

设曲线y1=（x-2）2和直线y2=1-m，其中x∈（0，3）.

由图像可知：

①在1≤1-m<4时，只有唯一的一个解，则此时-3<m≤0.

②如果1-m的数值为0，有且只有一个解，则m=1.

因此，-3<m≤0或m=1.

在数形结合思想中，图形与代数问题之间的转化是数形结合思想的关键，可以用几何的思想解决代数问题，用代数知识解决几何问题.在通过数形结合思想解决和处理问题时，需要做好以下几点：首先，弄清楚相关概念;曲线的代数特点以及运算的几何含义.数学题目内的结论与条件，不但要弄清楚代数意义，而且还要分析其几何意义;其次，科学设参，正确用参，构建关系，用形促数，用数思形，从而科学地转换数形;再次，把参数取值范围确定出来.

启发分类探讨，活思维之举

分类探讨是一种逻辑性方法，也是一种思想方法，这种思想不仅可以启发学生思维方向和思想习惯，还能充分引领学生分析其中的逻辑关系，做到由点及线、由线及面. 比如，对难以统一研究的某些问题，就应该依据某种标准分类处理相关的研究对象，达到化整为零，化繁为简的目的.

在分类讨论过程中，解决问题的原则为：具有统一的标准和明确的分类对象，不重复，不漏项，合理划分，主次分明，不越级探究.其中，不重不漏是关键.

运用转换思想，悟等价之措

等价转化思想在数学问题解决中较为常见，是将陌生的问题转化为熟知问题的方法. 据学生反馈，在学习和解决数学问题时，很难找到突破口，题目中的一些条件，某些时候难以帮助解答问题，遭遇这些抽象化的问题直接影响了解题的效率. 而等价转化法就能在解决以上问题时提供较大帮助. 灵便地转化问题与条件，把复杂抽象的问题变得更加清晰具体，从而使问题呈现出明显的突破口，简化问题.

在此问题中，通过均值不等式的转化思想，可以更加迅速、简捷地处理问题. 因此，在教学期间，教师需要科学地培养学生的判断能力，从而引导学生将更加准确的转换策略找出来. 以便更加高效、轻松地解决问题.通过此种方法来强化学生解题的能力.

领悟换元思想，揭变量之联

换元思想从某种程度上来讲也是转化思想的一种，但比转化思想有更强的针对性. 在解决很多高中数学问题时，都可以应用到换元思想方法，在应用这种方法后，展现出了许多应用优点，可以简化问题，而且可以将题目内隐藏的一些条件找出来. 就不同的问题类型而言，换元的方法也不同，教师应该通过具体例子解决问题，使学生真正地认识这一数学思想. 然后学会利用具体问题选择合理的换元方法，从而达到高效解决问题的目的.

案例4：已知x>2，y>2，求证：xy>x+y.

解析：从题目表面无法求证此不等式，而且无法运用已知条件，在这种情况下，首选的方法是换元.

令x=m+2，y=n+2且m>0，n>0.

则x+y-xy=m+2+n+2-（m+2）（n+2）=m+n+4-2m-2n-4-mn=-m-n-mn<0，

所以xy>x+y.

引入全新的变量，并显示出题目中所隐含的条件，从而有效地联系其条件和结论，这充分地展现出了换元法的意义.在实践中应用数学思想方法，简单化处理复杂的问题，使学生不知怎样突破的问题找到了一个新的突破口，从而更加高效、轻松地处理这些问题. 在解题时，通过应用这种换元的方法，有效地提升了学生的解题效率.

建构模型思想，赏数学之美

模型思想即通过建立数学模型，将实际问题抽象成数学问题. 模型主要包括函数模型、方程模型、不等式模型、几何模型等. 例如函数模型即为利用给出问题的数学特性，把函數关系型的数学模型构建起来，然后展开研究与分析.

案例5：已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn=12n-n2，

（1）求a1+a2+a3;

（2）求a1+a2+…+a10;

（3）求a1+a2+…+an;

（4）记Tn=a1+a1+…+an，求出当Tn取得最大值时n的值.

解析：（1）至（3）均可以通过Sn公示推导出an的公式，再通过各项的符号确定其绝对值与它本身的关系，再求出对应项数的和即可.

（4）是通过将Tn当作关于n的二次函数关系，把Tn中哪个值是最大值转变为二次函数y=Tn中当n取何值时函数值最大的问题求解出来，从而达到解题的目的.

（1）当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12（n-1）-（n-1）2]=13-2n.

当n=1时，a1=S1=11适合上式，

所以an=13-2n.

（2）a1+a2+…+a10

=2（a1+a2+…+a6）-（a1+a2+a3…+a10）

=2S6-S10

=52.

（3）当n≤6时，a1+a2+…+an=Sn=12n-n2;

当n≥7时，a1+a2+…+an

=a1+a2+…a6-（a7+a8+…an）

=S6-（Sn-S6）

=2S6-Sn

=72-（12n-n2）

=n2-12n+72，

所以a1+a2+…+an=12n-n2，n≤6，n2-12n+72，n≥7.

（4）由函数图像可知，当n≤6时Tn单调递减，当n≥7时单调递增，因此，当n=6时Tn最小.

通过函数与方程思想的结合，使得比较复杂的问题得到了有效的解决和处理，简化了题目的难度.

类似的方法还有很多，而教师需要将无限的题目转换为有限的类型，并将思想方法和类型相对接，让学生在学习中达成巧妙的对接，既减轻学生的负担，又提升了学生的能力，真正达成减负高效的教学效果.

在学生学习的道路上，教师是学生成长的指导者与领路人，在平时的教学中，教师需要通过我们的教学行为将思想与方法慢慢地渗透给学生，让学生在学习和训练的过程中学会感悟、学会积累，久而久之，学生积累的经验和方法就会成为学生的思维中的固有素养，即数学思想的形成. 而对于教师而言，需要落实和研究的就是结合教学内容进行落实，不断优化我们的教学策略，让学生在学习中乐此不疲.