高中线性回归方程的求法及应用

胡霞

摘 要：高中线性回归方程主要是一元线性回归方程，是高中学习的重难点和高考的热门考点之一，同时在平常的生活中也有广泛的应用，因此了解其求法以及应用是非常有必要的，在北师大版高中数学选修1-2中第一章第一小节重点讲述了线性回归方程的具体分析，说明了线性回归方程的解法一般是利用最小二乘法。

关键词：回归方程；高中数学；最小二乘法

一、高中线性回归方程学习的重要性

高中线性回归方程是一个变量和另外一个变量之间不确定性的关系，比如父母的身高与孩子的身高，食物中所含的脂肪和热量等，中间都是有一些关系的，但这些关系是不确定性的，就像是农作物的收成和栽培方式或者和施肥量之间的关系，可以说后面两者对农作物的收成有一定的影响，但并不是唯一的影响，这种影响也是不确定的，所以在研究的时候运用线性回归方程找出中间的关系，并算出相应的结果是非常重要的。[1]除此之外，线性回归方程也是高中学习的一大难点，对于高中生来说，掌握线性回归方程可以了解更多的解题思路。

二、高中线性回归方程的求法

最小二乘法是高中数学必修课中的内容，因此在讲解线性回归方程的时候，学生应该基本了解了最小二乘法，而北师大版高中数学选修1-2中第一章第一小节例1则充分讲述了如何使用最小二乘法对线性回归方程进行求解。例题如下：

始祖鸟是一种已经灭绝的动物，在一次考古活动中，科学家发现始祖鸟的化石标本共6个，其中5个同时保有股骨（一种腿骨）和肱骨（上臂的骨头）。科学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度，得到了如表1的数据：

之后抛出了两个题目，第一个是求出肱骨长度y对股骨长度x的线性回归方程，第二个是根据已知股骨长度是50cm求肱骨长度。其实，这一道题最为重要的是第一题，只要线性回归方程求出来，第二题也便迎刃而解。

首先從表格不难看出随着股骨长度的增长，肱骨的长度也是随之增长的，有了这样一个基础，再假设y=a+bx，要求a、b的值，就得使得n个点与直线的距离平方和最小，这里就使用到了最小二乘法的思路。而要n个点与直线距离平方和最小，则需要Q（a，b）=（y1-a-bx1）2+（y2-a-bx2）2+…+（yn-a-bxn）2这个值达到最小，最后求出线性回归方程的公式，将表格里面的数值代入进去计算出线性回归方程。而第二题则代入公式直接能求出来的，最后求出来的值是b≈1.197，a≈-3.660，也就是说最终的回归方程是

y=-3.660+1.197x，也就是说股骨的长度每增加1cm，肱骨的长度大约增加1.197cm，根据这个公式，可以算出第二题的答案：y=-3.660+1.197×50，最后得出y=56。

众所周知，线性回归方程的公式非常复杂，例题中的数字相对较小，所以求解的时候比较容易，但如果数字较大，求解的时候就非常容易出错，因此需要找一些解题方法让解法更加容易。[2]比如下面这个例子：

为了了解家庭的消费支出和收入的关系，特意调查了几个家庭的数据，得到表2：

三、高中线性回归方程的应用

高中线性回归方程的应用范围非常广泛，可以说因为各行各业都离不开数据，因为线性回归方程求的是两个变量之间的关系，因此大多行业在进行预估成本或是预估收益的时候都能用到高中线性回归方程，只是理论上来说，如果在线性回归方程中加入微积分知识，会更适合应用在实际生活中，最为常见的是在企业内部的使用。

比如，某公司新产品上市，需要投入广告，这时候就需要计算广告投入和实际收入之间的关系，可以运用公司其他产品的广告投入和收入数据作为基础，运用线性回归方程估算出广告投入与实际收入之间的比例，再决定是否投入广告以及投入多少。另外，在一些研究性的行业比如考古行业就经常需要用到线性回归方程，比如出土的文物长短测量等，也多是根据已知的数据推测未知的数据。

不过对于高中生来说，线性回归方程的应用多用于解决一些应用题，作为高考的热点之一，通常会出现几个小题和一个大题的组合，在平常学习中应该多加练习，对公式烂熟于心，并善于简化计算，这样在考试中才会胸有成竹，不会出现手忙脚乱的情况。

总之，高中线性回归方程虽然是高中选修课的内容，但实际上对学生要求掌握的程度并不低，在平常教学中，应该多用实际案例进行分析，多找不同的解法，让学生在不断的练习中了解线性回归方程的求法和应用。

参考文献：

[1]陶志雷.手动求解线性回归方程的方法和技巧[J].考试周刊，2016（27）：61.

[2]叶国炳.简化一元线性回归方程的求法[J].湖南工业职业技术学院学报，2003，3（3）：89-90.

编辑 鲁翠红endprint