两道数学习题引发的思考

李小军

【摘要】线段和角是中学几何学习中非常重要的知识点，也是中考的必考点.本文通过介绍两道数学题的解题思路，发现线段、角此类题共通性问题，以便学生掌握线段和角的相关问题的设计与解决方法.

【关键词】线段;角;共通性

在帮助学生处理线段、角的相关练习时，有一道题目引起了我的浓厚兴趣.它是这样描述的：已知线段AB=m，点C是AB上的一点，点D，E分别是AB和BC的中点，求两中点之间的长度.乍看起来没什么特别的，就是一个不相干的数学问题，没什么价值.认真琢磨琢磨，发现原来别有洞天.

这道习题的解题过程如下：

解题过程：

解因为点D，E分别是线段AC，BC的中点，

所以DC=1/2AC，CE=1/2BC.

又因为DE=DC+CE，

所以DE=1/2AC+1/2BC=1/2（AC+CB）=1/2AB.

又因为AB=m，所以DE=1/2m.

通过此题发现了一个有趣的现象——它在问题设计和解题过程上存在一定的共通性.

线段、角的很多问题是不是都具有共通性呢？经过搜集、整理、对比相关资料后发现，线段、角的问题中至少在以下几个方面具有共通性.

一、数线段、数角的个数相关问题具有共通性

例如，数线段的问题：已知2个端点，可以得到一条线段，3个点则可以得到3条线段，4个点则可以得到6条线段，5个点则可以得到_____条线段，n点则可以得到_____条线段.（5个点可以得到10条线段，n个点则可以得到n（n-1）2条线段）

与之对应的数角的问题：从一个点引出2条射线，可以得到1个角，引出3条射线，可以得到3个角，引出4条射线，可以得到6个角，引出5条射线可以得到个角，引出n条射线则可以得到个角.（5条射线可以得到10个角，n条射线可以得到n（n-1）2个角）

二、线段的和差、角的和差问题具有共通性

在线段的问题中经常要求某条线段的长度，我们通常可以几条线段之间的加减运算得到，而角呢，也会涉及求某个角的度数，也是通过几个角之间的加减运算得到.

例如，线段的问题：如图所示，已知AB=12，点C是AB上的一点，点D是AC的中点，且DC=4，求线段BC的长.

与之对应的角的问题：

如图所示，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD平分∠AOC，且∠DOC=40°，求∠BOC的度数.

有一个线段的和差问题，就应当有一个与之对应的角的和差问题.

三、动点、动线问题具有共通性

线段的问题中，有一类叫作动点问题，而角的问题中也有动线问题，它们也存在共通性.

例如，线段的问题：已知线段AB=12，在线段AB上有一动点P，点P从A向B以每秒2个单位的速度做匀速运动，P点出发多少秒后，线段AP=12AB？

与之对应的角的问题：

已知∠AOB=120°，射线OP从OA开始出发，绕点O向OB边以每秒20°的速度，做匀速旋转，试问多少秒后，∠AOP=12∠AOB？

再如，线段的问题：直线上有A，B两动点，A，B在某一时刻相距12 cm，已知点A、点B分别以1 cm/s，2 cm/s的速度做匀速运动.请解决以下问题：（1）若A，B两点相向而行，则多少秒后，两点相距8 cm？（2）若A，B同向而行，则多少秒后兩点相距8 cm？

对应的角的问题如下：

射线OA，OB是绕O点做匀速旋转的射线，在某一时刻，OA，OB的夹角为120°，已知OA，OB的速度分别为10°/s，20°/s.请解决以下问题：（1）若OA，OB相向旋转，多少秒后夹角为80°？（2）若OA在前，OA，OB做同向旋转一周，则多少秒后夹角为80°？

综上所述，线段与角的问题中有着诸多的共通性，我们在设计和解决此类问题时，可以利用这一特点来帮助我们用“此”思路或方法解决“彼”的问题.

【参考文献】

[1]仇日锋.线段与角相关问题中的数学思想应用[J]中学教学参考，2015（23）：36-37.

[2]王天宇.选择最优的方法证明两条线段相等[J].中小学数学（初中版），2017（12）：36-37.

[3]王锋.由等腰三角形设计的线段和差关系[J].初中生天地，2017（29）：40-43.