解析高中数学线性规划类型及求解策略

胡支云

【摘要】线性规划是高中数学中较为基础的知识点，难度不大，是高考的常考题型，常出现在选择题、填空题中.为提高学生线性规划题目的解题效率，防止失分，教学实践中教师应注重这一题型的讲解.本文结合教学实践，对常见线性规划类型进行汇总、剖析，探讨解答相关题型的注意事项.

【关键词】高中数学;线性规划;求解;策略

高中数学线性规划相关题目虽然难度不大，但题型多变，教学实践中，教师应注重常见类型的总结，针对不同类型，依托具体例题，传授相关的解题策略，帮助学生切实掌握这一基础知识.

一、线性目标函数及求解策略

求解线性目标函数最值属于基础题型，学生较容易掌握.解答该类题目时一般采用图解法，即，联立给出的方程组，求解各交点坐标，寻找到目标点，带入目标函数便可求得答案，因此，准确找到目标点是解答该类题型的关键，解题时要求学生认真审题，保证目标点求解的正确性.

例1 变量x，y满足2x+y≤40，x+2y≤50，x≥0，y≥0， 求z=3x+2y的最大值.

分析 解答該题时，应根据题设条件画出可行域，而后采用平移目标函数图像的方法进行求解.根据题设条件，画出的可行域如图1所示：

显然z=3x+2y图像越向可行域的右上角移动，取得的值越大，联立方程组可求得A点坐标为（10，20），代入得z=3x+2y的最大值为70.

点评 该类题目没有难度，为提高解题效率，保证解题正确性，应注意：其一，正确画出可行域范围，准确计算直线方程交点坐标.其二，明确要求的是最大值还是最小值，保证目标函数图像移动方向的正确性，计算出最终结果.

二、非线性目标函数及求解策略

线性规划中有一类题型的目标函数不是线性函数，难度有所增加，采用平移图像的方法无法直接求解.解题时仍需要正确画出可行域范围，而后认真观察非线性目标函数，看其是否是特殊图像的函数，如抛物线、圆等，而后借助其性质进行求解.

例2 已知x，y满足x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0， 求z=x2+y2-10y+25的最小值.

分析 求解线性规划题型，首先根据已知条件画出可行域，但该题目的目标函数不是线性，因此，需要对目标函数进行转化，即，z=x2+y2-10y+25=x2+（y-5）2，如此可看作求可行域中的点与点M（0，5）距离平方的最小值.

根据题设条件画出可行域，如图2所示：

解答时过点M作AC的垂线，MN长度的平方即为所求，利用点到直线的距离公式，可直接求解出MN长度的平方为92.

点评 解答目标函数为非线性函数题型时，除正确画出可行域范围外，还应对目标函数进行巧妙的转化，借助几何意义进行求解.如目标函数为z=（x-a）2+（y-b）2形式时，可看作是可行域中的点到点（a，b）距离的平方.如目标函数可化成圆的方程，应通过圆心坐标进行转化，而后求解.

三、目标函数参数求解策略

求目标函数参数属于线性规划逆向思维问题，难度较大，部分学生遇到题目不知如何下手，事实上只要明确目标函数最值一般在可行域边界、交点处取得，借助数形结合思想不难进行解答.

例3 平面直接坐标系中，不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0 （a为常数），表示的平面区域面积为2，那么a的值是（  ）.

A.-5    B.1    C.2    D.3

分析 解答该类题型时应认真分析题设条件，给出的不等式组中有两个直线方程已知，此时可画出其在坐标系中的图像.而ax-y+1≥0恒过点（0，1），其可看作围绕（0，1）点旋转的直线，因此，可做出如图3所示图形：

观察题设给出的四个选项，其中当a=-5时，可行域不是封闭的图形，舍去.当a=1时不难求得面积为1.当a=2时面积为32.当a=3时，面积为2，满足题意，因此，正确答案为D.

点评 线性规划中求解目标函数的参数难度较大，如不掌握一定的技巧很难求解出来，本题中很多学生不能挖掘出ax-y+1≥0恒过点（0，1）这一隐含条件，不知如何下手计算，白白失分，因此，解答该类题型时应注意：认真分析给出的已知条件，可先将已知直线图像在平面直角坐标系中画出来;分析带参数的直线方程，挖掘存在的隐含条件.另外，因该类型题目难度较大，教学实践中，教师应多讲解相关例题，让学生见更多的题目，更好地掌握该题型的解题技巧.

四、结 论

线性规划是高中数学的重要内容，题型多变，因此，教师应做好高中阶段线性规划类型的总结，本文共同探讨了线性目标函数、非线性目标函数以及目标函数中求参数题型，明确不同题型的特点，并针对不同类型列举相关例题，为学生讲解具体解答策略，提出线性规划教学中应注意的事项，确保学生真正掌握这一基础知识，做到迅速、正确解题.

【参考文献】

[1]吴建涛.高中数学线性规划类型及求解策略[J].劳动保障世界，2015（29）：53-54+57.

[2]焦国营.例谈线性规划思想在高中数学教学中的应用[J].求知导刊，2016（10）：105.

[3]董悠.高中数学线性规划问题分析[J].科技创新导报，2017（4）：193-194.