高中数学函数奇偶性的多重分析

梁爽

【摘要】奇偶性作为高中数学函数一项非常重要的性质，具有较强的规律性，本文分别从其定义的深入理解为出发点，分别从对称性、任意性等不同的角度为出发点，对高中数学函数的奇偶性进行了多重分析，进而帮助大家更好地对数学函数的奇偶性进行应用.

【关键词】高中数学;函数;奇偶性;分析

如何准确的判断函数的奇偶性呢？本文给出几种常用的判断方法，仅供大家参考.

一、对函数奇偶性定义的理解

判断函数奇偶性的大体思路是首先考查定义域是否关于原点对称，之后再考查表达方式之间的关系，总而言之，一是看定义域，二是看解析式，然而对抽象函数来说，因为没有给出函数的具体表达式，只是给出抽象的函数关系，所以，经常要应用到特殊值和变量代换进行求解.

（一）奇函数与偶函数的定义

1.奇函数的定义：对于函数f（x）定义域中的任意x，都存在f（-x）=-f（x），那么我们称该函数为奇函数;

2.偶函数的定义：对于函数f（x）定义域中的任意x，都存在f（x）=f（-x），那么我们称该函数为偶函数;

3.不管f（x）是奇函数或是偶函数，我们都称该函数具有奇偶性.

（二）对函数奇偶性的理解

1.任意性：具有奇偶性的函数，其奇偶性是对该函数f（x）定义域内的任意值而言的，所以，函数的奇偶性是该函数在其整个定义域上的性质，与函数在其定义域某一区间上的单调性是存在差别的;

2.对称性：对数学函数f（x）来讲，如果其为奇函数，那么其图像必然关于原点对称，如果其为偶函数，那么其图像则必然关于y轴对称;同样，对于函数f（x）来讲，如果f（x）为奇函数或者偶函数，则必然存在着f（-x）=-f（x）或者f（x）=f（-x），那么其定义域也必然会关于原点对称;同时，对于任意函数f（x），如果其图像关于原点对称，那么该函数为奇函数，如果其图像关于y轴对称，那么该函数为偶函数.但是，如果一个函数的定义域关于原点对称，那么该函数却不一定具有奇偶性.

3.同值性：对于奇函数或偶函数来讲，当其自变量x取相反数值时，其函数的绝对值是相等的.

二、对高中数学函数奇偶性的多重分析

（一）利用奇偶函数的定义对奇偶函数的应用进行分析

例1 已知函数f（x）在R上为奇函数，当x<0时，f（x）=-xlg（2-x），求f（x）在R上的解析式.

利用奇函数的定义：对于函数f（x）定义域中的任意x，都存在f（-x）=-f（x），那么我们称该函数为奇函数，

可以得到：f（-x）=-f（x），f（0）=0.

当x>0时，-x<0，所以，f（-x）=xlg（2+x），

所以，-f（x）=xlg（2+x），f（x）=-xlg（2+x）（x>0），

所以，f（x）-xlg（2-x）（x<0），-xlg（2+x）（x≥0），

即f（x）=-xlg（2+|x|）（x∈R）.

（二）利用奇偶函数图像的对称性对奇偶函数的应用进行分析

如果一个函数的图像关于原点成中心对称，那么这个函數一定是奇函数，如果一个函数的图像关于y轴成轴对称，那么这一个函数必然是偶函数.

对奇函数来讲，其图像关于原点对称;对偶函数来讲，其图像关于y轴对称.同时，不管是对奇函数还是对偶函数，其定义域都关于原点对称.

例2 已知函数y=f（x）在（0，2）上是递增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，比较f（1），f52，f72的大小.

解 因为函数y=f（x+2）是偶函数，由偶函数的定义f（x）=f（-x）可以得到：f（x+2）=f（2-x），由偶函数的图像对称性可知，f（x）的图像关于x=2对称.

因为f（x）在（0，2）上是单调递增函数，所以，f（x）在（2，4）上为单调递减函数，f（1）=f（2-1）=f（2+1）=f（3），

所以，f72<f（3）<f52.

该题目主要利用函数在某一区间具有单调性及奇偶函数的图像对称性的性质，将函数的图像推导到其他的区间.

例3 对函数y=x2-1在x∈[-2，2）上的奇偶性进行判断.

解析 看到该类题目，我们则可以根据其定义域x∈[-2，2）不关于原点对称简单地判断出：该函数不具备奇偶性.

三、结束语

数学作为一门思维性、逻辑性较强的学科，运用不同的思考方式对同一个问题进行分析理解，可以获得意想不到的效果.本文以高中数学函数的奇偶性为例进行了多方面的分析，并运用实例对其应用加以说明，增强同学们对函数奇偶性的理解与掌握，促进大家共同进步.

【参考文献】

[1]张子明.函数奇偶性的多种理解[J].中学数学研究，2004（12）：32-33.

[2]丁亮.换一些新思路去理解函数的奇偶性[J].中国校外教育旬刊，2014（2）：79.