二次函数图像中三角形面积最值问题变式设计

田旭明

二次函数图像中三角形面积最值问题是中考数学试题中较为常见的题型，它包含的知识点多，同时融合动态探索性问题，集平面几何、函数几方程等相关知识于一体，题型灵活、难度适中，能较好的考查学生的综合能力。学习重点是二次函数中求三角形面积最值问题的方法。学习难点是体会转化、方程、函数等数学思想。本文围绕一道三角形面积最值问题中所需反映的数学实质进行一系列的问题变化，使学生得以掌握与提高，培养学生举一反三、灵活转换、独立思考能力。

一、 引题

如图1：抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。

（1）直接写出点A、B、C的坐标；并求出顶点 D的坐标。

设计意图：求A、B、C的坐标的目的是解决点的坐标问题，为基础性练习，能用基本知识、基本方法加以解决，为解决后面的問题作好铺垫。顶点D的坐标可通过配方法或顶点坐标公式得到，解法灵活多变。

（2）在图1中线段AB上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP面积最大，若存在，请求出P点的坐标，并求出最大面积，若不存在，请说明理由。

设计意图：理解抛物线的性质，初步体会最值，进一步理解△ABP面积最大时点P的坐标刚好是顶点坐标，同时可以进行题目变式，联题成片。

（3）在图2中线段BC上方的抛物线是否存在一点P，使得△BCP面积最大，若存在，请求出P点的坐标，并求出最大面积，若不存在，请说明理由。

设计意图：通过多种方法解决最值问题，体会几何模型方法和函数模型来解决问题，理解解决方法的多样性。

方法一：几何模型

当以BC底时，要使△BCP面积最大，则高必须最大，此时平移直线BC，与抛物线只有唯一交点时，高最大，此时转化成平移后的直线与抛物线只有一个交点问题。由点B、C的坐标可得直线BC的解析式为y=-x+3，设平移后的直线解析式为y=-x+b，联立y=-x+b与y=-x2+2x+3，消去y，得-x2+2x+3=-x+b，整理后得到x2-3x+b-3=0，此时△=0，即（-3）2-4（b-3）=0，得到b=214。进一步得到点P的坐标为（32，154），此时设平移后的直线与y轴交于点M，△BCP的面积就转化成△BCM的面积，为278。

方法二：函数模型

如图4，在线段BC上方的抛物线上找一点P，作PD//y轴，交BC于点D，设P （a，-a2+2a+3），则点D的坐标可设为 （a，-a+3），所以PD=-a2+3a，可得△BCP的面积表示为S=1/2×3×（-a2+3a），通过配方得到： S=-32（a-32） 2+278，由二次函数的性质可得，当a=32时，点P的坐标为（32，154），此时△BCP的面积取得最大值，为278。

通过比较两种解法发现：几何模型重在平移转化，其转化思想体现得比较明显，函数模型重在建立函数，利用函数的性质最值来解决三角形面积最值问题。两种解答方法又有相通之处，其关键点在于求高的最大值。

通过对引题实施解法变式，追求一题多解，解法优化，培养学生思维的广阔性和灵活性。在解法变式环节中，教师活动体现在引导点拨和评价鼓励，对学生探索到的解题思路，给予及时的鼓励，以增强学生的探索信心和精神，激发探索欲。学生活动体现在：自主探索解法，求新求异，多角度思考问题，多渠道寻求解决问题的方法，相互交流，相互启发，扩大探索成果，并自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能。

二、 题目变式

在探索变式环节中，教师活动体现在诱导启发，激发学生的探索创新个欲望，及时评价，鼓励学生的探索精神和继续探索的勇气。学生活动体现在：在教师的引导下，独立探索，挖掘题目变式，小组相互探讨，通过相互交流，相互启发，点燃创新思维的火花。

变式1：

如图3，若抛物线为y=-ax2+2ax+3a（a>0），其它条件不变，点P是线段BC上方的抛物线上的动点，若△BCP最大面积为94，求a的值。

与（3）小问比较发现：变式1在于函数解析式发生变化，已知最值，反过来求a的值。较好的体现了方程思想在解题中的作用。由前面的解题经验，解决此题仍然可采取两种方法解答。

方法一：当以BC底时，要使△BCP面积最大为94，则高必须最大，此时平移直线BC，与抛物线只有唯一交点时，高最大，此时转化成平移后的直线与抛物线只有一个交点问题。

方法二：同引题（3）问解答，体现方程思想。

变式2：

如图5，若抛物线为y=-ax2+2ax+3a（a>0），其它条件不变，过点A的直线l与y轴负半轴交于点F，与抛物线的另一个交点为E，且EF=4AF，点M是直线l上方的抛物线上的动点，若△AFM的面积的最大值为54，求a的值。

变式2在变式1的基础上进一步变化，通过解答分析，体会多题归一，同时渗透方程思想、函数思想，进一步提高解题能力

变式1到变式2，由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。

本节二次函数图像中三角形面积最值问题变式设计，从不同角度，不同层次，不同背景方面考虑，以暴露问题本质特征，揭示不同知识间内在联系，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为途径，以培养具有创新精神和创新能力为目标，让学生展示个性，激发潜能，提高数学能力。

（作者单位：四川省成都七中万达学校）endprint