数学课堂的教学过程中引导学生对解题风险的认识

孙如敏

【摘要】自人类诞生以来风险一直与我们相伴，风险一词我们并不陌生，也许在其他领域我们将会听得更多，尤其是各种各样的经济活动中风险一词出现的频率是比较高的，其实何止是经济活动领域，就算是在我们生活及学习的各种活动中，风险依然是客观存在的.只不过有些时候风险在相对较小的情况下人们容易将其忽略而已.在当前的教育环境下，我认为应当在我们的教学过程中让我们的学生在学习的过程中感到危机和压力，即灌输风险无处不在的理性风险意识.让学生在学习过程中接受挑战，而数学课堂的教学过程中对这一意识的培养无疑是很好的.

【关键词】数学课堂；教学过程；引导学生；解题风险

在学习过程中如何培养学生的风险意识以及如何增强学生抵御风险的能力？我们就从“不挑食”这一说法开始吧！记得很小的时候母亲就对我说要做一个不挑食的孩子，只有这样才能吸收万物的精华，只有这样身体才能健康成长.而挑食的孩子在成长的过程中总有这样或那样的健康问题.数学学习也是如此，我们就主张学生们在青少年时代的数学学习过程中做一个不挑食的孩子，在学习的过程中只有“嘴不挑”的学生即各种知识和方法都敢擅于尝试的学生抵御风险的能力才会强.

首先不得不说无论我们面对的是哪一个行业，勤劳的人总比懒汉更加有能力抵御各种事实存在的不确定和风险.这对于我们的学生而言尤为重要，对于一个中学生来说，如果希望在考试的过程中能够取得较为满意的成绩，单单就在考场的状态下问一名学生如何得到他所满意的战果即较高的分数.这样的话显然是片面的，至少是不全面的.想要对这一问题进行回答我认为自然离不开以下两个方面：第一个方面就是平时“功夫”的修炼即完成对各类知识点及方法的记忆存储.而要想做好这件事，则大致需做好这样三个层次的事情就好：第一个层次是知识网络结构的建立；第二个层次是从知识和方法中领悟各种数学思想方法；第三个层次就是选择策略的权衡与把握.第二个方面：即在第一个方面完成较好的前提下如何在规定的时间内高质量完成试卷，而解决问题的根源在于考生对于试卷上难度较大的题目选择方法上的博弈时间是非常有限的，选择充满了不确定性，而选择的偏好往往决定在平时的学习过程，在平时的学习过程中形成的方法“偏好”，换句话讲考试过程中对每道题方法的选择就意味着选择了做题风险，作为一名高中数学教师，我认为对此问题不能不引起足够的重视，如果能有一个较为稳妥的解决途径，即考生在做每一道题时尽量都能够在较短时间内选择一种相对高效的办法去完成，那么在擂台式的考试中定能立于不败之地.到了这里也该亮出我在本文中的观点了，即我们应当在数学课堂的教学过程中引导学生对解题风险的认识和把握.在数学的习题教学过程中，培养学生在较短时间内完成对题目上方法选择的最优博弈.下面我就简单从几个不同角度阐述在数学课堂中如何引导学生在解决问题的过程中认识风险和把握风险的一些做法.

笔者先从习题课的讲解中说起，我认为解决思考难题或陌生题最好的做法是引导学生善于从难题或陌生题中创造一个相对简单的辅助题，而这个辅助题恰恰能够对解决这道题有很大的帮助，从而降低解决这道题的风险，美国的数学教育家G·波利亚曾在《怎样解题》一书中提过辅助题目一词，即辅助题目是这样的一种题目，我们考虑它并不是为了它本身，而是因为我们希望对它的考虑可能有助于我们解决另一道题.下面仅提供两个案例给出两种常见手段演示构造辅助题目的方法.

案例1已知函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数.若有且只有唯一整数x0，满足f（x0）<0，求实数a的取值范围.（题目背景：高三第一轮复习导数章节复习完毕）

案例分析这是一道函数与导数的综合题，对于刚刚复习完这一章的高三学生而言难度相对较大，学生在思考这道题时也许一点思路都没有，教师在评讲这道题的时候可以引导学生反复阅读题目.下面设计了师生之间的一段简洁的对话.

T：同学们可以将题目反复细读，觉得题目中哪个条件让我们遇到困难，又有哪一部分我们是比较熟悉的，不要着急，反复揣摩，慢慢细读.

S：从整个题目来看，这似乎是一个存在性的问题，对于这个问题的处理也许和恒成立一样都是转化为最值问题来做的.

T：问题是这个存在性问题和我们以往做的哪里不同呢？或者说这道题中让你困惑不解的是哪里呢？

S：这不仅仅是存在实数的问题而是存在唯一整数x0的问题，看起来蛮让人头疼的.

T：能否将原题改造一下变成我们想要的题目呢？比方说将题目中的条件进行弱化，即将“若有且只有唯一整数x0”改成“若存在实数x”从而这道题目就被我们改造成以下这样一道题.

辅助题目：已知函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数.若存在实数x，满足f（x）<0，求实数a的取值范围.

S：这样一改题目就变得十分熟悉了，接下来就采用常规手段参变分离转化为最值问题就可以了.由f（x）<0得ex（2x-1）

当x=1时，不等式显然不成立.

当x>1时，a>ex（2x-1）x-1；当x<1时，a

记g（x）=ex（2x-1）x-1，

g′（x）=ex（2x+1）（x-1）-ex（2x-1）（x-1）2=ex（2x2-3x）（x-1）2，

∴g（x）在区间（-∞，0）和32，+∞上为增函数，（0，1）和1，32上为减函数.

∴当x>1时，a>g32=4e32，当x<1时，a

综上所述，所有a的取值范围为（-∞，1）∪（4e32，+∞）.

T：我们再回过头来看原题，做一个比较就会发现这道辅助题的解决恰恰给我们帮了一个大忙，下面只要在这道辅助题的基础上进行进一步思考就可以了.

S：是的，我们继续在此基础上完成原题即可.由辅助题可知知a<1时，x0∈（-∞，1），由f（x0）<0，得g（x0）>a，又g（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且g（0）=1>a，∴g（-1）≤a，即a≥32e，∴32e≤a<1.当a>4e32时，x0∈（1，+∞），由f（x0）<0，得g（x0）

综上所述，所有a的取值范围为32e，1∪3e2，5e32.

首先，此案例是通过将其部分条件进行弱化处理，使其难度降低，从而相对扩大了其取值范围，从中再进一步筛选.打一个比方，一个鱼塘里有一条美人鱼，很想把她捞上来，怎么办呢？是只对准美人鱼徒手捞吗？有时候眼睛里只看到美人鱼反倒效果不佳，倒不如回去弄张大网对美人鱼所在附近一片区域进行打捞，也许打捞上来的不止美人鱼，不管怎么只要我们要的美人鱼在这个网里面不就解决问题了？

其次，让我们尽可能从多角度思考解题的方法，这样也有利于降低解题的过程中的风险，教学过程中尽量培养学生思考风险和降低风险的能力，比方我们在讲授新课时，对某一例题的分析可以先着眼于本课节知识点和方法的运用，然后再放眼于之前的知识点和方法的融合.举一案例讲解加以说明.

案例2

如图所示，已知矩形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=13BD，AN=13AE.

求证MN∥平面CDE.

分析中应引导学生将线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直是关键，要引导学生探索得出.这是利用法向量和方向向量垂直关系来证明线面平行的一次运用，因此，这种手段对学生而言试一次全新的角度，是一种新的方法的演绎，题中的长度与欲证的结论无关，因此，为了便于运算，设它们的长分别为是合理的.学生对这种方法是充满新奇的，让学生回顾总结方法时可以回顾此题的一题多解即可以应用共面向量定理来证明的，甚至也可以用必修2中传统的线面平行的判断定理来证明.通过这道例题的讲解，让学生从不同角度、不同手段和方法去思考完成线面平行的证明，即在证明线面平行的问题中，多种方法的掌握有利于学生降低做题的风险.

当然在数学课堂的教学中引导学生对解题风险的认识的手段和方式是多样的，比如，我们不单单是从具体的知识层面引导也可是解题意志和兴趣的培養方面，比如，在教学过程中也可以通过数学史的有关趣味介绍提升学生学习的兴趣，兴趣是最好的老师，也是我们在解题过程中降低解题风险的润滑剂.教学法虽不应该拘泥于某种固定的模式，但是我们可以尝试先从某几种模式开始，然后以此为起点辐射到数学教学中的各个方方面面.