谈谈判别式的解题功能

常思源

(河北省唐山市第二中学 063000)

谈谈判别式的解题功能

常思源

(河北省唐山市第二中学 063000)

在高中数学学习中，注重数学思想方法的学习和总结，掌握多种多样的数学方法，这对提高解答数学问题的能力是十分重要的.本文针对数学解题中应用广泛的“判别式”法，列举了它的多种用途，这对提高解题能力具有参考价值.

数学解题；一元二次方程；判别式；功能

一、求值域

例1 已知实数a、b、c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的取值范围是____.

解将c=-(a+b),代入a2+b2+c2=1中，消去c，再以b为主元，a为参数整理成2b2+2ab+2a2-1=0.

将上式视为关于b的一元二次方程，由b是实数，知该一元二次方程有实根，故Δ=4a2-8(2a2-1)≥0.

点评本例解法中，先消去(c)化三元为二元，再选定主元(b)和待求参数(a)，从而构造出一元二次方程，利用判别式非负使问题获解.以上的解题思路自然顺畅，是我们解答数学题的常规策略，是我们每个高中生都应掌握的基本技能.

二、求最值

例2 曲线x2-2xy-3y2=1上的点到坐标原点的距离的最小值为____.

由t(x2-2xy-3y2)=x2+y2,整理成(t-1)x2-2txy-(3t+1)y2=0.

(1)当y=0时，可求得t=1.

三、证明不等式

例3 设a、b是实数，且a3+b3=2,求证0

而上式中的k2+2k+4的判别式Δk=22-4×1×4=-12<0,故恒有k2+2k+4>0,那么不等式化成k(k-2)≤0(k≠0).

解得0

点评本例解题中先从条件式中通过引入参数k来表达a+b，ab，从而逆用韦达定理构造出一元二次方程，为利用判别式创造了条件.但解题中应关注一些隐含条件(k≠0)(k2+2k+4>0)，才能使解题即严谨又简化.

四、求参数的值

Δ1=a2-4(b+1)≥0且Δ2=a2-16(4-b)≥0①.

Δ1=a2-4(b+1)≤0且Δ2=a2-16(4-b)≤0②.

由①和②可知有

点评本解法对值域[-1,4]的深层次含义进行挖掘，分别利用方程有实根和不等式恒成立，从两个方面思考，列出两个判别式的不同符号，从而导出两个判别式都为零，充分体现了思维的灵活与广阔性，对判别式的含义理解深邃.

总之，判别式的应用是十分广泛的，以上仅对代数方面的应用略谈几例，实际上，判别式在几何、三角、解析几何等诸多方面都有应用.可以说，判别式法是求解数学问题常用的、广泛的、重要的工具，我们应熟练掌握，善于运用.

[1]赵建勋.判别式法解题举例[J].中学生数学(高中)，2014(1)：15-16.

[2]赵兴根.例析反向思维在初中数学解题中的应用[J].福建中学数学，2014(3)：42.

[3]杨春娟.含参一元二次不等式的解法与恒成立问题[J].中学生数学(高中)，2015(2)：28.

G632

A

1008-0333(2017)31-0040-02

2017-07-01

常思源，河北省唐山市第二中学，在校学生.

杨惠民]