概念形成理论指导下的概念学习设计——以浙教版教材八年级上册“5.2函数”（第1课时）的教学设计为例

顾建锋，钟伟

（浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心；东北师范大学南湖实验学校）

概念形成理论指导下的概念学习设计
——以浙教版教材八年级上册“5.2函数”（第1课时）的教学设计为例

顾建锋，钟伟

（浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心；东北师范大学南湖实验学校）

一个数学概念由探究、抽象、建立到应用，有时既困难又漫长，需要经过多次反复、循序渐进、螺旋上升的过程，才能达到对概念的真正理解和掌握.依托C.赫尔的概念形成理论，将一个概念的学习拆分为“初识—理解—明确—巩固—熟识”5个阶段，可以让学生真正地经历概念的生成、发展和应用的全过程，从而达到感知概念本质，深化概念理解，进而真正掌握概念.

概念学习；函数概念；问题预学；教学设计

数学概念是数学知识之本，解题之源，它不仅是正确计算和推理论证的基本依据，而且理解、掌握概念的过程更是提升数学能力的重要途径.因此，学好数学概念，正本清源，才能使数学知识根深叶茂，解题左右逢源.为此，作为教师能否设计出切合学生实际的概念学习过程至关重要.如何设计呢？笔者以为关键是要再现概念的形成过程，那么概念是如何形成的呢？美国心理学家C.赫尔认为，概念的形成就是将一类事物的共同因素抽象出来，并对它做出相同的反应.也就是说对一类事物的各种因素进行辨别，并将共同因素抽象出来以及泛化，就构成概念形成过程的主要内容.本文依托C.赫尔的概念形成理论，并以浙教版教材八年级上册“5.2函数”（第1课时）的教学设计为例，对概念学习的设计做一些探究和尝试，现阐述如下，以期抛砖引玉.

一、概念形成与学习过程的对应性分析

众所周知，数学概念具有高度的概括性和抽象性，学生望而生畏，学之有疑.为了改变学生对数学概念的“畏惧”心理，帮助学生了解数学概念的背景，认识概念的逻辑意义，理解概念的本质属性，掌握概念的核心应用，近年来，笔者积极探索设计概念学习的方式，经过多次“学习—思考—实践”的尝试，经历不断“修正—实践—提炼”的过程，探索了设计概念学习的不同途径，找到了设计概念学习的一些基本特征，那就是在C.赫尔的概念形成理论的指导下，将一个概念的形成拆分为“初识概念—理解概念—明确概念—巩固概念—熟识概念”5个阶段，并设计5个学习过程与之对应（如图1），进而形成了概念学习的基本框架.

图1

这样的概念学习路径对教师来说，了解学情是前提，设计预学问题是基础，组织小组讨论是重点，处理师生对话是关键，落实习题训练是保证.

二、基于概念形成理论的概念学习实践

1.初识概念：从问题预学开始

C.赫尔的概念形成理论指出：概念的形成首先是将同一类事物的各种因素进行辨别.这表明在概念学习的初始，让学生经历概念的发生过程，识别和感悟组成概念的各种因素，不可或缺.基于此，笔者提出设计概念课学习的过程应该从多个具体实例开始，通过课内独立预学和小组合作交流的方式，让学生在分析问题、解决问题的过程中产生思维的碰撞，生成新的认知，为归纳和提炼概念的共同因素（即基本属性）“铺好路，搭好桥”.简而言之，就是让学生通过问题预学，初识概念.此时，虽然学生还不清楚将要学习的是什么概念、叫做什么，但组成概念的基本属性已在脑海中留下痕迹，概念的抽象与提炼近在咫尺.

案例1：浙教版教材八年级上册“5.2函数”（第1课时）“初识函数概念”的学习设计.

环节1：阅读教材第143页内容，完成合作学习中的三个问题.要求：先独立完成后组内校对，最后选出小组代表将答案板书到黑板上，时间5分钟.

问题1：小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元/时计算.

小明的哥哥一周工作的时间为n小时，应得报酬为m元.填写表1.

表1

怎样用关于t的代数式表示m？

问题2：跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关.根据经验，跳远的距离s=0.085v2（0＜v＜10.5）.计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s（结果精确到0.01米）.

问题3：按照如图2所示的数值转换器，试任意输入一个x的值，根据y与x的数量关系求出相应y的值.

图2

环节2：小组交流讨论下面两道思考题.要求：组内每位成员先阐述自己的见解，然后交流讨论达成共识，并做好展示交流的准备，时间3分钟.

思考1：上述各题中有几个变量？分别是什么？

思考2：上述各题中，对于其中的一个变量（如t，v，x），任取一个值，另一个变量（如m，s，y）相应有几个值？

【评析】设计问题，引领预学.把问题作为学生自学的出发点，通过具体的操作性问题的解决和归纳反思性问题的研讨，引导学生看书学习、组内互学或向教师求助学习.案例中的前三个问题围绕函数概念的构成因素设置，后两个思考题则隐含着函数概念的共同属性.学生通过对这些问题的思考、解答和交流，经历了与函数概念有关的各种因素的辨别过程，触及到了函数概念的雏形，初识了函数概念.

2.理解概念：落实概念基本属性的抽象与概况

由C.赫尔的概念形成理论可知：概念的形成要经历一个“具体形象—典型表象—本质抽象”的认知心理活动过程，即要经历把外部形象的感知材料经过头脑的思维加工，转化为内部心理的认识过程.在这个过程中，对外部感知材料从具体、形象到典型、表象抽取出共同的、本质性的因素进行概括，是理解概念的关键.问题预学后，在学生头脑中已经积累了较多与概念关联的外部感知素材，此时，要及时引导学生对这些外部感知素材进行观察、比较、归纳，获得感性认识，再通过语言来逐步抽象、概括出数学概念的基本属性.

案例2：浙教版教材八年级上册“5.2函数”（第1课时）“理解函数概念”的学习设计.

环节1：围绕案例1中的问题1、问题2、问题3和两道思考题进行师生交流，让三个小组代表依次回答：你们组解答的问题中有几个变量？分别是什么？谁随着谁的变化而变化？对于其中的一个变量任取一个值，另一个变量相应有几个值？

教师结合学生的回答，板书如图3所示.

图3

环节2：通过学生的探索，我们找到了三组变量关系，虽然它们背景不同，但是存在共性，你能说出它们的共性吗？

教师结合学生的回答板书两点共性：

①两个变量；

②对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值.

环节3：你能举出一个符合这种特征的变量关系吗（要求有两个变量，并且一个变量的值确定，另一个变量的值跟着唯一确定）？

环节4：抽象概括.

①两个变量；

②对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值.这样的变量关系在数学上有一个专有名称，称为函数.例如，上述变量关系中m是t的函数，t是自变量……

【评析】上述案例以典型、丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性，抽象概括共同本质属性，自然引出函数这个新概念.环节1和环节2通过学生的回答、教师的追问与板书，使学生体验到函数的两个基本属性（①两个变量；②对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值），慢慢地形成一种“共性印象”，并逐渐在自己的观察视域中显现出来.环节3旨在使学生体会到函数概念所包含的具体实例是无限多的，而书本中或教师给出的实例总是有限的，只有在举例中学生才能感知到无限多的实例.环节4则是为了加深学生对函数概念的理解，做足了铺垫，体现了函数概念的发生和发展的轨迹.以上4个环节，让学生经历了对有限的直观实例中变量关系的概括、对无限的自由列举实例中变量关系的抽象，以及函数本质的基本属性从具体实例的背景中分离出来等认知过程后，学生对函数概念的理解已成竹在胸.

3.明确概念：引领学生辨析分享概念的核心关键词

数学概念是严谨的，其文字语言的描述科学准确、逻辑性强，句中的每一个字、词既不可删减，又不能随意增加，更不能任意调换.细读每一个数学概念，简简单单的一句，却蕴含着丰富的内涵.不得不承认，在学习数学概念的初期，学生对概念的掌握不可能一步到位.因此，在得出数学概念之后，要先对概念文本内容进行辨析，具体可设置概念文本的独立研读和小组讨论教学环节，让学生寻找概念中的关键字、词进行分析和讨论，期间教师可以创设问题，引导学生对概念的关键词进行思考并做出解释，甚至将关键词去掉后再让学生对比，从而达到对关键词的理解，感受概念语句的缜密性，明确概念文本.接着，从概念的正、反两方面入手设计问题，引导学生动脑思考、动手解答、动口交流，在问题的解决过程中明确概念的本质属性，进而将概念真正内化.

案例3：浙教版教材八年级上册“5.2函数”（第1课时）“明确函数概念”的学习设计.

环节1：阅读教材第144页第一自然段中的函数定义，划出关键字、词，想想对什么是函数清楚了吗？有问题要提吗？

环节2：思考：为什么要在函数概念中加上“某一变化过程中”这句话？去掉这句话行吗？

环节3：先独立思考后小组交流、讨论下面三道判断题.

判断题1：等式y2=x中y是x的函数吗？为什么？

判断题2：表2中y是x的函数吗？为什么？

表2

判断题3：如图4，在图象中y是x的函数吗？为什么？

环节4：小组交流、讨论下面两道思考题.

思考1：判断一个变量（y）是不是另一个变量（x）的函数，关键看什么？

图4

思考2：上面三个问题，分别如何改正，才能使得y是x的函数？

环节5：另外再举出一个函数实例.

【评析】概念得出后，学生只是建立了一个抽象、概括的语句框架，初步理解了概念中蕴含的基本属性，但还没有达到深刻理解的层面.这时，首先要抓住概念中的核心词语，深入辨析，力求做到从感知到明确，显得尤为重要.上述案例中，学生在教师设计的预学问题的引领下，从自主阅读概念文本，到小组讨论概念文本中的关键词，再到师生交流概念文本中的疑难点，处处都留下了概念辨析的影子.这样的概念教学不仅能使学生深刻体会到概念的“缜密性”，而且对学生的质疑探究能力的培养也大有好处.其次，从概念的内涵和概念的外延来设计问题，是明确数学概念的有效方法.明确概念的内涵，就是对概念要素做具体界定，让学生通过对概念的正例和反例做判断，从而更准确的把握概念的细节与本质；明确概念的外延就是要言之有物，教师不仅要给出符合定义或不符合定义的对象让学生思考、辨别，而且也应该让学生自己举出实例.在上述案例中，环节3和环节4的设计，深化了学生对概念内涵的理解，环节5的设计，则促进了学生对概念外延的把握.

4.巩固概念：及时进行应用反馈

C.赫尔认为，概念的形成不仅要将一类事物的共同因素抽象出来，而且还要对它及时地做出相同的反应，方能真正地掌握概念.鉴于此，学生在经历了概念的初识、抽象和辨析后，基本弄清了概念的意义，但要达到真正掌握，还需通过应用反馈加以巩固.此时，教师可以设计有助于学生更好地理解、运用概念的题目，通过运用概念解决实际问题，并在问题的独立思考过程中培养学生的概念运用能力，在问题的交流、研讨过程中加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握.

案例4：浙教版教材八年级上册“5.2函数”（第1课时）“巩固函数概念”的学习设计.

先独立完成下面两个问题，然后组内校对，最后全班交流.

问题1：在国内投寄平信应付邮资如表3所示.

表3

（1）y是关于x的函数吗？为什么？

（2）分别求出当x=5，10，30，50时的函数值，并说明他们的实际意义.

问题2：图5是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程.

图5

根据图象回答下面的问题.

（1）这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？

（2）求当t=5时的函数值？

（3）当10≤t≤15时，对应的函数值是多少？并说明它的实际意义.

（4）学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？

【评析】对数学知识的实际应用都是建立在对数学概念充分理解的基础上的思维活动，只有对数学概念的深刻理解，才能提高学生的解题能力，也只有通过解题，学生才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延.案例中，学生在做题过程中应用概念，在应用概念中思考概念属性，在思考概念属性中理解概念本质，并伴随着问题的“独立解决—交流核对—修正补充”的完成，学生经历了概念的“具体—一般—具体”的过程，并在同伴交流和师生对话中巩固概念，抓住本质.

5.熟识概念：回顾梳理结构化

一节课的小结既是本节课研究问题的结束，又是新问题、新知识产生的开始.概念课的回顾与梳理要有利于学生把已学知识纳入原有知识体系中，即把本课时的学习内容和与本课时学习内容有关的前置学习内容、后续学习知识，通过框图进行结构化处理，整体建构数学知识框架，进而熟识概念.

案例5：浙教版教材八年级上册“5.2函数”（第1课时）“熟识函数概念”的学习设计.

环节：借助具体问题的解答过程，通过师生交流梳理出如图6所示的框图.

图6

【评析】用框图的形式对概念的学习过程进行回顾与梳理，既让学生明确概念从“哪里来”要到“哪里去”，又方便学生从整体上掌握概念，使得学生的认知结构化、体系化，从而真正熟识概念.

三、结束语

一个数学概念由探究、抽象、建立到应用，有时既困难又漫长，需要经过多次反复、循序渐进、螺旋上升的过程，才能达到对概念的真正理解和掌握.依托C.赫尔的概念形成理论设计概念学习过程，倡导以学生的认知规律为基础，设计吻合学生的思维水平的课内预学问题，揭示概念的生成、发展和应用的过程，不仅使学生对概念的习得从感性认识上升到理性认识，而且使学生的认知结构得到不断完善，认知能力得到逐渐升华.其核心技术是教师先根据教材教学内容和学习目标设计适切、有效和科学的问题，再用问题构建一个课堂预学情境，让学生进入到这个情境范围内进行动脑思考问题，动手解答问题，最终习得概念、掌握概念应用.概念的“初识—理解—明确—巩固—熟识”构成了概念学习的5个教学阶段，每一阶段中，教师都需要根据教学目标和学情，将本阶段课时内容按一定的逻辑结构设计一组由浅入深、由表及里、彼此关联的预学问题，让学生在自主学习的基础上，尝试分析和解决预学问题，并通过生生之间的交流形成问题解决的基本策略，通过师生之间的对话积累和提炼解题方法.这样随着问题的解决，学生经历了活动、观察、思考、概括、抽象以及辨别、应用等认知过程，反复感知了概念的本质，深化了概念的理解，最终真正掌握概念.

［1］顾建锋.问题引领课内预学分享互动深化理解［J］.中小学数学，2014（1/2）：9-11.

2017—09—09

顾建锋（1975—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教学与命题研究.