以高考题例谈高三数学复习方法

杨忠明

一、深入研究课程，回归教材，强化教材基础

在高三复习备考中，千万不能把“回归教材”当做一句空话，题在书外，理在书中。2015年和2016年的全国高考数学试题就是很好的例证，对这些高考试题进行认真分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，有的甚至是将课本上的题目进行引申、拓展和变化，如果平时的复习中吃透课本上的例题、习题，以不变应万变就可以解答出这类题型。

例 1 （2015年新课标全国卷Ⅱ理科第6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A） （B） （C） （D）

解：由三视图可得，在正方体 中，截去四面体 ，如图2所示。设正方体的棱长为 ，则 ，故剩余的几何体体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 。

例1考查三视图以及锥体、柱体体积的计算，仔细留意教材就会发现这个高考题可以在教材中找到“题源”。

题源1 （必修2教材28页习题1.3 组第3题）

如图3，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。

解：设长方体的长、宽、高分别为 ，则长方体的体积为 ，截出三棱锥的体积为 ，剩下的几何体的体积为 ，所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 。

认真把题源1和例1进行对比发现，两个题考查的知识点相同，命题方向一致，2015年的这个高考题只是把教材上的题从长方体变为了正方体，从给出直观图变为了给出三视图，可以说是把教材上的题进行细微的加工，从而演变为高考题的。

二、研究全国各省市历年的高考真题和模拟题

在注重基础，贴近教材，研究教材上的例题及习题的同时，高三数学复习备考还应该研究全国各省市历年的高考试题，特别是近三年全国新课标卷，通过研究往年的高考试题，总结、归纳出高考考查的知识点和通性通法，培养、提高学生审题和答题的能力。

例2 （2016年新课标全国卷Ⅲ文科第11题、理科第10题）在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球.若 ， ， ， ，则 的最大值是

（A） （B） （C） （D）

解：根据题意可得，要使球的体积最大，球应與直三棱柱的若干个面相切，设球的半径为 ，容易得到 的内切圆半径为 ， ，又因为 ，所以 ，所以 。应选择 答案.

例2考查了直三棱柱与球的问题，若认真研究往年的高考题就会发现，它与2014年湖南高考题中理科第7题、文科第8题非常相似，其考查的知识点和思想方法完全相同.

、题源1 （2014年湖南高考理科第7题、文科第8题）一块石材表示的几何体的三视图如图4所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于

（A） （B） （C） （D）

解：由三视图画出直观图，如图5所示，判断出这个几何体是底面边长为6，8，10的直角三角形，高为12的躺下的直三棱柱，设球的半径为 ，容易得到 的内切圆半径为 ，所以 .又因为 ，所以 .因此，能得到的最大球的半径等于 。

分析以上这两个高考题就会发现，两个题的命题角度是一致的，湖南高考的这个题给出了直三棱柱的三视图，问可以打磨出的球的最大半径问题，而2016年全国卷Ⅲ的这个高考题则改变了题干信息的叙述方法和直三棱柱的棱长，问题设置从问可得到的球的最大半径上升到问球的最大体积.如果学生在平时的复习中研究过例4这个题，那么在遇到2016年全国卷Ⅲ的这个题时，就会发现两个高考题其实上“换汤不换药”，问题很快就会迎刃而解。

认真研究近几年全国各省市的高考题就会发现，类似的例子非常多，从这些例子可以看出在每年的高考题中，有一些高考题无论是在考查知识点上，还是在命题角度上，其考查的基本思想方法都来源于教材，有些高考题直接立意点在教材上的例题或习题中，而有些则是对往年的高考题进行改编、加工而得到.所以，对于高三数学复习备考，在按照常规的复习方法，强化概念教学的同时，回归教材，研究高考题显得尤为重要.特别是对数学基础较一般的学生来讲，复习时要老老实实从教材抓起，从对课本上知识点的理解、熟记开始；对课本上的例题和习题的进行训练，逐一认真研究，在研究习题的同时，不断总结每个题与知识点的联系，最终把知识点形成知识网络加以记忆。同时，在复习备考中还应该和高考接轨，当掌握了一定的教材知识和方法后就很有必要研究一定数量的高考真题和模拟题，把每年高考的常规题型、基础性题目所考查的知识点和解题方法进行总结和归纳，最终做到熟能生巧，学以致用。

总之，在高考数学复习过程中，内容上要充分领悟理论、方法、思维三个方面；解题上要抓好数、式、形三个字；阅读、审题和表述上要实现文字语言、符号语言和图形语言这三种数学语言的转化；计算问题上要注意准、快、巧这三个字.笔者认为，在高中数学复习和考试中，要尽可能的避免“一讲就懂，一做就错”的现象，最好的方法就是在复习中尽可能多的重视教材，研究教材内容的同时尽可能多的研究近几年全国各省市高考试题的命题方法、命题特点以及命题热点，并进行归纳、总结形成自己的知识网络.笔者相信，只要老师和学生一起按照上述的方法复习，多反思、多总结，经常提醒自己要一题多解，一题多变，一题多问，学生在复习过程将会受益不少，在高考中将会收获理想的成绩。