空间几何和解析几何核心考点A卷

河南省商丘市第一高级中学 张书勤

空间几何和解析几何核心考点A卷

河南省商丘市第一高级中学 张书勤

编者的话:强化对核心考点的演练、注重对经典题型的归纳,是学好数学的秘诀,基于此,本刊编辑部特开设此栏目,希望同学们能认真对待。从本期开始,如果都能把试卷保存好,对以后的复习大有裨益。

一、选择题

1.直线xt a nπ+y+2=0的倾斜角α是3( )。

2.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

3.若双曲线-=1(a＞0)的离心率为2,则a等于( )。

4.在正三棱柱A B C-A1B1C1中,若A B=2B B1,则A B1与C1B所成的角的大小为( )。

A.6 0° B.9 0° C.1 0 5° D.7 5°

图1

5.如图1,A B C DA1B1C1D1是正方体,B1E1=DF=,则B E与D F1111所成角的余弦值是( )。

6.如图2,已知六棱锥P-A B C D E F的底面是正六边形,P A⊥平面A B C,P A=2A B,则下列结论正确的是( )。

图2

A.P B⊥A D

B.平面P A B⊥平面P B C

C.直线B C∥平面P A E

D.直线P D与平面A B C所成的角为4 5°

A.0 B.1 C.2 D.3

8.已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线A B反向后再射到直线O B上,最后经直线O B反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )。

1 0.设集合A={(x,y)+=1},B={(x,y)y=3x},则A∩B的子集的个数是( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

1 1.椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程+=1,A,B是它的两个焦点,当静止的小球放在点A处,从点A沿直线出发,经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后,再回到点A时,小球经过的最短路程是( )。

A.2 0 B.1 8 C.1 6 D.以上均有可能

1 2.以下四个命题:①一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行;③过平面外一点和这个平面平行的直线有且只有一条;④平行于同一平面的两条直线互相平行。其中错误命题的个数为( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

图3

1 3.在正方形A B1B2B3中,E、F分别是B1B2、B2B3的中点,如图3所示,现沿着A E、A F、E F把这个正方形折成四面体,若B1、B2、B3三点重合,重合后的点记为B,那么四面体A E F B中必有( )。

A.A B⊥平面E F B

B.A D⊥平面E F B

C.B F⊥平面A E F

1 4.设椭圆+=1(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( )。

1 5.已知A={(x,y)|y-3x ≤4},B={(x,y)|x2+(y-a)2≤1},若A∩B=B,则a的取值范围是( )。

A.[2,+∞) B.(-∞,-2]

C.[-2,2] D.(-∞,2]∪[2,+∞)

1 6.正四棱锥S-A B C D的高S O=2,底边长A B=2,则异面直线B D和S C之间的距离为( )。

1 7.由直线y=x-1上的一点引圆(x-3)2+y2=1的切线,则切线长的最小值为( )。

A.1 B.2 2 C.7 D.3

1 8.已知向量m=(2 c o sα,2 s i nα),n=(3 c o sβ,3 s i nβ),若m与n的夹角为6 0°,则直线xc o sα-ys i nα+=0与圆(xc o sβ)2+(y+s i nβ)2=的位置关系是( )。

A.相交但不过圆心 B.相交过圆心

C.相切 D.相离

A.2 B.3 C.4 D.2 2

2 0.正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且E F=,则下列结论中错误的是( )。

A.A C⊥B E B.E F∥平面A B C D

C.三棱锥A-B E F的体积为定值

D.异面直线A E,B F所成的角为定值

2 1.一个四面体的五条棱长分别为1,1,1,1,2,若该四面体的体积为,则这样的四面体最多有( )。

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

2 2.F1、F2为椭圆两个焦点,Q为椭圆上任一点,过任一焦点作∠F1Q F2的外角平分线的垂线,垂足为P,则P点轨迹为( )。

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

2 3.数学家欧拉在1 7 6 5年提出定理:三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线。已知△A B C的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是( )。

A.(-4,0) B.(-4,0),(-2,0)

C.(-4,2) D.(-4,0),(-3,0)

2 4.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )。

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条D.不存在

2 5.在直三棱柱A B C-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠A C B=9 0°,侧棱A A1=2,D,E分别是C C1与A1B的中点,点E在平面A B D上的射影是△A B D的重心G。则A1B与平面A B D所成角的余弦值( )。

2 6.由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的阴影部分图形(如图4),绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足x2+y2≤1 6,x2+(y-2)2≥4的点(x,y)围成的阴影部分图形(如图5)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2。则( )。

图4

图5

2 7.正四棱柱A B C D-A1B1C1D1中,底面边长为2 2,侧棱长为4,E,F分别为棱A B,C D的中点,E F∩B D=G。则三棱锥B1-E F D1的体积为( )。

2 8.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,B F =2,则( )。

二、填空题

2 9.一辆卡车高3米,宽1.6米,欲通过抛物线形隧道,拱口宽恰好是抛物线的通径长,若拱口宽为a米,则能使卡车通过的a的最小整数值是____。

3 0.椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|P F1|=4,则|P F2|=;∠F1P F2=。

3 1.已知实数x,y满足x2+y2+2x=0,则x+y的最小值为____。

3 2.已知点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|P A|=|P B|,则称点P为“Λ点”,有下列结论:①直线l上的所有点都是“Λ点”;②直线l上仅有有限个点是“Λ点”;③直线l上的所有点都不是“Λ点”;④直线l上有无穷多个点是“Λ点”。其中正确的是____。(填写正确结论的序号)

3 3.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0。a1,a2,…,a11是过点(3,5)的1 1条圆的弦长,若数列a1,a2,…,a11是等差数列,则数列a1,a2,…,a11的公差的最大值为____。

3 4.在正方体A B C D-A1B1C1D1中,E为A1B1的中点,则异面直线D1E和B C1间的距离____。

3 6.已知P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为____。

3 7.圆C的方程为(x-2)2+y2=4,圆M的方程为(x-2-5 c o sθ)2+(y-5 s i nθ)2=1(θ∈R),过圆M上任意一点P作圆C的两条切线P E,P F,切点分别为E,F,则·的最小值是____。

3 8.已知棱长为1的正方体A B C DA1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点,则点A1到平面D B E F的距离为____。

图6

3 9.如图6,O是半径为1的球的球心,点A,B,C在球面上,O A,O B,O C两两垂直,E,F分别为大圆弧A B与A C的中点,则点E,F在该球上的球面距离是____。

4 0.如图7,过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点A,B,若A,B在抛物线的准线l上的射影分别是A1,B1,则∠A1F B1=。

图7

4 1.有一个角为3 0°的三角板,斜边放在桌面内,三角板与桌面成3 0°的二面角,则三角板最短边所在直线与桌面所成角的正弦值为。

图8

4 2.如图8,直三棱柱A B B1-D C C1中,∠A B B1=9 0°,A B=4,B C=2,C C1=1,D C上有一动点P,则△A P C1周长的最小值为。

4 3.在棱长为1的正方体A B C DA1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,C D的中点,则点B到截面A E C1F的距离为____。

三、解答题

(Ⅰ)试求圆C的方程。

(Ⅱ)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A,B,满足C A⊥C B,求直线l的方程。

4 5.已知正四棱柱A B C D-A1B1C1D1,A B=1,A A1=2,E为C C1的中点,F为B D1的中点。

(1)证明E F为B D1与C C1的公垂线;

(2)求点D1到面B D E的距离。

4 6.已知椭圆C的中心为直角坐标系x O y的原点,焦点在x轴上,它的x轴上的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。

(1)求椭圆C的方程;

(2)若P为椭圆C的动点,M为过点P且垂直于x轴的直线上的点,=e(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

4 7.已知抛物线x2=2p y(p＞0)和直线y=b(b＜0),点P(t,b)在直线y=b上移动,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,线段A B的中点为M。

(1)求点M的轨迹;

(2)求|A B|的最小值;

图9

4 8.如图9,P A⊥面A BC D,四边形A B C D是矩形,P A=A B=1,P D与平面A B C D所成角是3 0°,F是P B的中点,点E在边B C上移动。

(1)当E为B C的中点时,试判断E F与平面P A C的位置关系,并说明理由;

(2)证明:无论点E在边B C的何处,都有P E⊥A F;

(3)当B E等于何值时,二面角P-D E-A的大小为4 5°?

图10

4 9.如图1 0,定圆C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=1,动点P在直线l:x+y-6=0上移动,过P向圆C1和C2引切线,切点分别为M,N。

(1)若|PM|=|PN|,求点P的坐标;

(2)若不论P在直线l上的任何位置,恒有|PM|2+|PN|2＞λ|P O|2成立,求正数λ的最大值。

图11

5 0.如图1 1,已知正三棱柱A B C-A1B1C1的各棱长都为a,P为A1B上的动点。

5 1.直线:y=k x+1与抛物线:y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,抛物线的准线与x轴的交点为P,若·＜0,求·的最小值。

(责任编辑 刘钟华)