有限域上的高斯和与有理点的计算

王秀芝,王如允,曹炜

(宁波大学数学系,浙江 宁波 315211)

有限域上的高斯和与有理点的计算

王秀芝,王如允,曹炜

(宁波大学数学系,浙江 宁波 315211)

设f是有限域Fq上的n元m项多项式,为其次数矩阵,用N(f)表示由超曲面f=0在仿射空间 An(Fq)确定的Fq-有理点的个数.若矩阵A∈Zn×m在环 Z/(q−1)Z中与Df行等价,则记为.本文利用高斯和给出了当m≤n且,其中λi∈{1,3}时N(f)的具体表达式,从而推广了已知结论.

有限域;有理点;特征和;高斯和

1 引言

设Fq是含有q个元素的有限域,其中q=ph,h≥1,p是一个素数.对于n元非零多项式

其次数矩阵定义为n×m阶矩阵Df=(D1,···,Dm),其中Dj=(d1j,···,dnj)T,j=1,···,m.多项式f的增广矩阵定义为,其中.用N(f)表示由超曲面f=0在仿射空间An(Fq)确定的Fq-有理点的个数,即

寻找N(f)的表达式在有限域研究中具有重要意义．但要得到N(f)在一般情形下的表达式是很困难的,通常要进行一些适当的限制(参见文献[1-2]).当Df＞0,即Df中的元素均为正整数时,孙琦得到了下列结论.

定理1.1[3]设f为形如(1)的多项式,其中Df＞0.若m=n且gcd(det(Df),q−1)=1,则对于任意的b∈Fq,有

在文献[4]中,曹炜和孙琦则进一步推广了上面的定理.

定理1.2[4]设f为形如(1)的多项式,其中Df＞0.若m≤n且Df在环Z/(q−1)Z 中左可逆,则对于任意的b∈Fq,有

注意到“Df在环Z/(q−1)Z中左可逆”等价于“Df行等价于一个对角元素均为1的对角矩阵”,即.在文献[5]中,王如允、闻彬彬和曹炜考虑了,其中λi∈{1,2}时的情形,得到了下面的结论.

定理 1.3[5]设f为形如 (1)的多项式,其中Df＞0,q=ph为奇数.用η表示 F∗q上的二次特征.设

且

(i)若p≡1(mod 4)或p≡3(mod 4)且h为偶数时,则有

(ii)若p≡3(mod 4)且h为奇数时,则有

2 预备知识

设g是的一个生成元.则对于,存在唯一的正整数 0≤t≤q−2,使得gt=a,记indga=t.定义上的Teichm¨uller特征χ满足

特别地,χk在中的阶为(我们将在下面的引理 2.2和引理 2.3中用到这一事实).

定义

可以验证,对于所有的a∈Fq,高斯和满足下面的插值关系:

在下文中,固定

为C中的三次本原单位根,显见ω2+ω+1=0.

定义 2.1[6]若q≡1(mod 3),则上的两个三次特征分别为:

及

其相应的高斯和分别为:

及

一般来讲,高斯和是很难计算的,但(4)与(5)中高斯和的具体值在特殊情形下可以通过下面的引理得到.

引理 2.1[7]设p为素数,M＞2是正整数,存在一个最小的正整数u使得

记q=p2uc,其中c为正整数.若

则有

特别地,当M=3时,我们有

引理 2.2设p为素数,存在一个最小的正整数u使得pu≡−1(mod 3),记q=p2uc,其中c为正整数.若或,则有

为方便计,在下文中我们总是用g表示(6)中G(k)的表达式.设f为形如(1)的多项式,其增广矩阵为. 设 Ω⊆{0,1,···,q−1},令

为 Ω 的m重直积.对于向量k=(k1,···,km)∈Ωm,定义s(k)为向量中非零元素的个数.沿用上述记号,有下面重要引理.

引理 2.3[8]设n元多项式f如 (1)中所示.令 Ω={0,1,···,q−1},则有

其中和号遍历所有的向量k=(k1,···,km)∈Ωm且满足

在下一节中,我们还会用到下面的组合恒等式(证明略).

引理 2.4设t为正整数,则有

3 主要结论

为方便计,在本节中我们总是假定f是形如(1)定义的多项式,q=p2uc,且存在一个最小的正整数u使得

对系数集合

做如下划分(0=m0≤m1≤m2≤m3≤m):

(a)t∈{1,2,···,m1}:ψ(at)=ω,k中所对应的的元素记为k1=(k1,···,km1);

(b)t∈{m1+1,···,m2}:ψ(at)=ω2,k中所对应的的元素记为k2=(km1+1,···,km2);

(c)t∈{m2+1,···,m3}:ψ(at)=ω3=1,k中所对应的的元素记为k3=(km2+1,···,km3).对于给定的

即在(k1,···,km3)中分量取值为i(q−1)/3 的个数.

定理 3.1多项式f如本节前言所设.令

则有

其中和号遍历所有的向量k=(k1,···,km)∈Ωm且满足:

证明首先考虑

时的情形,并记此情形下的解数为N0.此时k=(k1,···,km)中向量取值只有q−1和0,即为定理1.2中b=0时的结论,故有

下面假设σ0(k)+σ3(k)＜m3,并记此情形下的解数为N∗.由于

同余方程组

同解,且后者的解均取自于k=(k1,···,km)∈Ωm,这里

对任一给定的k=(k1,···,km)∈Ωm,由同余方程组的第一个方程可知,σ1(k)+2σ2(k)一定是3的倍数.又因σ0(k)＜m3及Df＞0,故有s(k)=n+1.注意到当k=0时,χ(aj)k=1,G(k)=q−1;当k=q−1时,

由(2),(3)及引理2.3,引理2.5可得

由N(f)=N0+N∗,(8)和(9)立得结论.

当系数集合Sm3中所有元素的三次特征均等于1（亦即均是中的立方数）时,我们可以得到较为简洁的表达式.

推论 3.1设多项式f如本节前言所设.令

若m1=m2=0,则有

其中和号遍历所有的向量k=(k1,···,km)∈Ωm且满足

下面我们将给出N(f)的另一种表达式,它比定理3.1更适用于计算.

定理 3.2设多项式f如本节前言所设,则有

证明由本节前言假设知,系数集合Sm3={a1,···,am3}中有m1个三次特征为ω的元素,m2−m1个三次特征为ω2的元素,m3−m2个三次剩余特征为1的元素.由同余方程组

的第一个方程可得,

对于每个

从k1中取t1个元素,从k2中取r1个元素,从k3中取σ1(k)−t1−r1个元素,因此共有

种取法.由于

不妨假设

故有

种取法.注意到,当σ1(k)+σ2(k)＞0时,均有s(k)=n+1;而当σ1(k)+σ2(k)=0,即i=j=0时,s(k)≤n+1,因而在求和中必须把这种情形排除掉.但

此种情形已在定理 3.1的证明中讨论过,其公式即为定理 1.2中b=0时的公式,我们仍用N0来表示.综上讨论,有

应用引理2.4并进一步化简,即得结论.

类似推论3.1,当系数集合Sm3中所有元素的三次特征均等于1时,有

推论 3.2设多项式f如本节前言所设.若m1=m2=0,则有

最后我们用一个具体的例子来说明如何分别应用定理3.1和定理3.2.

解显然,m1=m2=0,m3=n=m=3,f的次数矩阵

因此可应用推论3.1和推论3.2.又由引理2.2知,此时g=2.

方法一:令Ω={0,1,2,3}.首先将所有满足

的向量k=(k1,k2,k3)∈Ω3列表 (见表1).

表1 向量k=(k1,k2,k3)∈Ω3的取值

再将上述结果代入推论3.1中的公式(10),计算可得N(f)=37.

方法二(应用推论3.2):直接代入推论3.2中公式,有

此外,通过Maple计算,亦可验证N(f)=37.

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Gauss sums and computation of rational points in fi nite fi elds

Wang Xiuzhi,Wang Ruyun,Cao Wei
(Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

fi nite fi eld,rational point,character sum,Gauss sum

2010 MSC:11M06

O156

A

1008-5513(2017)06-0634-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.009

2017-11-05.

国家自然科学基金(11371208);宁波市自然科学基金(2017A610134).

王秀芝(1993-),硕士生,研究方向：数论、有限域及其应用.