行为AANA阵列的若干收敛性

王宽程

(闽南理工学院信息管理学院,福建 泉州 362700)

行为AANA阵列的若干收敛性

王宽程

(闽南理工学院信息管理学院,福建 泉州 362700)

在较广泛的条件下，研究了AANA阵列行和的收敛性质，利用截尾方法和矩不等式,获得了行为AANA阵列的弱大数律、Lp收敛性和完全收敛性定理,所得结果推广了前人的相应结果.

AANA阵列;收敛性;一致可积

1 引言

称{Xn;n∈N}为渐近几乎负相依(简称AANA)随机变量序列,如果存在非负序列

对任意的n,k≥1都有

其中f和g是任何两个使上述方差存在且对每个变元均为非降的连续函数.称{q(n);n∈N}为该序列的混合系数.

AANA序列是包含NA列(令q(n)=0,n≥1)和独立列的更广泛的随机变量序列.显然,如果随机变量序列是NA列,则一定是AANA列,反之不然[1].此外,AANA序列也不同于ANA列[2].近年来有关AANA序列的研究,已取得不少的成果,可以参考文献[3-7].但对于AANA随机阵列的研究比较少,本文研究AANA阵列行和的若干收敛性质.

称随机阵列{Xni;1≤i≤n,n∈N}是行为AANA阵列,固定n,假设每一行内的随机变量列{Xni}是AANA的.

本文主要研究形如

的行和的最大值的弱大数率、Lp收敛性和完全收敛性.推广和改进了NA列和独立情形的大数定律和完全收敛性[8].

称随机阵列{Xni;1≤i≤n,n∈N}是p阶cesaro一致可积的,若

显然p阶一致可积蕴含p阶cesaro一致可积的,但反之不成立,即p阶cesaro一致可积严格弱于p阶一致可积[9].

本文一律用C表示与n无关的正常数,并且C可在不同的地方表示不同的常数.

2 主要结果与证明

引理 2.1[1]设{Xn;n∈N}为AANA序列,并且混合系数是{q(n);n∈N},若{fn;n∈N}皆是单调非降(或者单调非增)连续函数,那么{fn(xn);n∈N}仍然是AANA序列,其混合系数仍然是{q(n);n∈N}.

引理 2.2[4]设{Xn;n∈N}是均值为0的AANA序列,混合系数{q(n);n∈N},1＜p≤2,那么存在仅依赖于p的正数Cp,使得

定理 2.1设{Xni;1≤i≤n,n∈N}是行为AANA阵列,其混合系数q(n),n≥1,可以满足

且对1＜p＜2,有

则

定理 2.1的证明取xn=n1/p,当n→∞时,xn→∞,对Xni截尾,记

当1＜p＜2时，由引理2.1知,

仍是AANA阵列,因

要证定理2.1,只需证Jn1→0,Jn2→0,n→0.由引理2.2以及Morkov不等式可得

由 (2)式,且xn=n1/p得,

由 (2)式,∀ε＞0,∃M,使当y＞M时有

即以当xn＞M时,有

由1＜p＜2,以及ε的任意性得,n→∞.

下证Jn2→0,n→∞,由的定义及(2),有

定理2.1证明完毕.

推论 2.1设{Xn;n≥1}是NA列,且对1＜p＜2,有

则

证明由

知,(1)式等价于(2)式，也等价于(3)式.再由定理1可得证.

特别取{Xn;n≥1}为同分布NA列,则(3)变为

这一结果推广了文献[10]的定理1的充分结果,因此,定理2.1把NA列的相关结果推广到了AANA阵列.

定理 2.2设{Xni;1≤i≤n,n∈N}是行为AANA阵列,其混合系数q(n),满足

且对1＜p≤2,有(1)式成立,则

定理 2.2的证明仍用定理2.1的记号,这里取xn=n(1−p/2)/4,因1＜p≤2,当n→∞时,xn→∞,由Jessen不等式,引理2得

定理2.2证明完毕.

推论 2.2设{Xn;n≥1}是NA列,且对1＜p＜2,有

则

定理 2.3设{Xni;1≤i≤n,n∈N}是行为AANA阵列,其混合系数q(n),满足

且对1＜p≤2及δ＞1时,满足

则对αp≥1有

定理 2.3的证明仍沿用定理 2.1的记号,取xn=nα(2−p)/4,∀ε＞0有

由

知,∃M＞0,当x＞M时,有

又因为xn=nα(2−p)/4,所以∃N＞0,使得当n＞N时,有xn＞M,则

同理可得

令t=z2/p,则有

由(4)得

推论 2.3设{Xn;n≥1}是NA列,且对1＜p＜2有

则对αp≥1,有

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Some convergence properties of arrays of rowwise AANA random variables

Wang Kuancheng
(Minnan University of Science and Technology,Quanzhou 362700,China)

Under very mild conditions,the convergence properties for the sums of rowwise asymptotically almost negative associated random variables.By the truncated method and the means moment inequality,the author is able to give the week law of large numbers,Lp convergence and complete convergence of rowwise asymptotically almost negative associated random variables.The results extend the corresponding results in series of previous papers.

arrays of AANA,convergence properties,uniformly integral

2017 MSC:12M06

O211.4

A

1008-5513(2017)06-0615-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.007

2017-10-07.

福建省中青年教师教育科研项目(JAT170739).

王宽程(1981-),硕士,讲师,研究方向：概率极限理论.