混合系数线性模型的几乎无偏s-K估计

蔡择林, 江秉华, 陈金阳, 蔡齐

(1.湖北师范大学数学与统计学院,湖北 黄石 435002;2.泰康保险集团股份有限公司稽核中心,湖北 武汉 430000)

混合系数线性模型的几乎无偏s-K估计

蔡择林1, 江秉华1, 陈金阳1, 蔡齐2

(1.湖北师范大学数学与统计学院,湖北 黄石 435002;2.泰康保险集团股份有限公司稽核中心,湖北 武汉 430000)

在连续测量数据情况下,给出了混合系数线性模型的几乎无偏s-K估计,讨论了该估计的相关性质,并在一定条件下证明了几乎无偏s-K估计优于s-K估计以及几乎无偏岭估计.

混合系数线性模型;几乎无偏s-K估计;s-K估计;几乎无偏岭估计;均方误差

1 引言

考虑如下混合系数线性模型:

其中

是t的已知向量函数,a是p×1的固定系数向量,β是q×1的随机系数向量,且β∼(b,Σ).现对m个样品,分别在

时测得以下数据:

这里的βi和εij分别是每个样品的随机系数和每次测量的误差,βi与εij独立,且

若记zi=(zi1,zi2,···,zini)′,εi=(εi1,εi2,···,εini)′,

则可得

式中

设

则式(3)变为

进一步,记

这里p≥0,q≥0.显然,当p=0时模型化为完全随机系数形式,当q=0时模型化为一般的线性模型.这里还要求

混合系数线性模型在实际问题中有着广泛的应用背景,如经济分析、生物学等领域.自文献[1]提出了混合系数线性模型以后,许多学者研究了这种模型的参数估计[6-10],基于(1.5)式,当系数阵接近病态时,文献[2]提出了一种有偏估计:s-K估计.本文提出了LS估计的一种新的改进估计:几乎无偏s-K估计,在一定条件下证明了几乎无偏s-K估计优于s-K估计以及几乎无偏岭估计.

2 几乎无偏s-K估计

基于(5)式,文献[1]给出了d的LS估计:ˆd=(C′C)−1C′Z.(5)式的典则形式为:z=Lr+e,e∼(0,D),其中

文献[2]给出了d的如下s-K估计:

其中s≥1称为压缩系数,K=diag(k1,k2,···,kg)≥0称为岭参数.

注2.1即为文献[3]所提出的Stein估计即为文献[4]所提出的岭估计即为文献[1]给出的LS估计.

(6)式的典则形式为:

从(7)式容易得到

于是s-K估计的一个有偏修正估计为:

注2.2即为文献[5]提出的几乎无偏岭估计,即为文献[1]给出的LS估计.

3 几乎无偏s-K估计的性质

由几乎无偏s-K估计的典则形式不难证得:

定理3.1几乎无偏s-K估计是压缩估计,即

等号当且仅当s=1,K=0时成立.

证明因为

所以

定理 3.2存在s∗＞1,K∗＞0,对任意1≤s≤s∗,K≥K∗使得下式成立.

证明显然

而

于是

其中

故

而由文献[2]知,

于是

其中

因为

故定理结论成立.

定理 3.3给定K=diag(k1,k2,···,kg),其中

则存在相应的s＞1,使得.

证明记

则

令

则其判别式和一正根分别为:

则当

有h(kj)＜0,而K/=0,故f′(1)＜0,又f′(s)为连续函数,故存在s∗＞1,使得f′(s)＜0,s∈[1,s∗),即f(s)在 [1,s∗)上严格递减,故f(s)＜f(1),s∈(1,s∗).亦即

定理结论成立.

4 数值模拟

为了进一步考察几乎无偏s-K估计的均方误差的表现,下面进行Monte Carlo数值模拟.模拟中,取p=1,q=2,m=2,n1=n2=4,且

设固定系数a的真实值为a=0.6,随机系数向量βi∼N(b,Σ),i=1,2且β1与β2相互独立.其中

再取随机误差向量εi∼N(0,I4),i=1,2且ε1与ε2相互独立.试验的重复次数取为N=5000.对于

几乎无偏岭估计(AURE),s-K估计(s-KE)以及几乎无偏s-K估计(AUs-KE)的均方误差的模拟结果列在表1中,其结果进一步验证了上文的理论结果.

表1 三种估计的均方误差模拟结果

[1]庄东辰,茆诗松.混合系数线性模型的参数估计[J].应用概率统计,1996,12(1):81-87.

[2]许莹,何道江.混合系数线性模型参数的一类新估计[J].数学物理学报,2013,33A(4):702-708.

[3]刘小茂,茆诗松.混合系数线性模型参数的Stein估计[J].数学物理学报,2001,21A(4):453-457.

[4]陈静.混合系数线性模型参数的岭估计[J].青岛大学学报,2007,20(2)37-41.

[5]蔡择林,江秉华.混合系数线性模型的几乎无偏岭估计[J].数学杂志,2013,33(2):354-358.

[6]Rao C R.The theory of least squares when the parameters are stochastic and its application to the analysis of Growth curves[J].Biometrika,1965,52:447-458.

[7]Swamy P A V B.Statistical Inference In random Coefficient Regression Model[M].New York:Springer-Verlage,1971.

[8]Johanson S.Asumptotic inference on random coefficient regression models[J].Scand.J.Statist.,1982,9:201-207.

[9]蔡择林,江秉华,陈金阳.混合系数线性模型的一类有偏估计[J].应用数学,2017,30(3):603-606.

[10]刘小茂,张钧.混合系数线性模型参数的根方估计[J].华中理工大学学报,1997,25(3):111-112.

Almost unbiased s-K estimator for mixed-effect coefficient linear model

Cai Zelin1,Jiang binghua1,Chen Jinyang1,Cai Qi2
(1.College of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi435002,China;2.Audit center of Taikang insurance group co.,ltd,Wuhan 430000,China)

Almost unbiased s-K estimator for mixed-effect coefficient linear model is given in the case of repeatedly measured data.Under certain conditions,the new estimators are shown to be superior to the s-K estimators and Almost unbiased ridge estimator,respectively.

mixed-effect coefficient linear model,almost unbiased s-K estimator,s-K estimator,almost unbiased ridge estimator,mean square error

2010 MSC:62J12,62F10

O212.1

A

1008-5513(2017)06-0560-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.002

2017-08-05.

国家自然科学基金(11471105;71701076);湖北省教育厅青年项目(Q20162504).

蔡择林(1963-),教授,研究方向:数理统计.