一题多变天地宽

陈华萍

摘 要：数学题目千变万化，唯有问题的本质亘古不变。在数学教学中，数学教师应该高屋建瓴，引导学生积极进行一题多变的研究，在探究中揭示问题的本质，从而习得丰富的解题经验。

关键词：一题多解；一题多用；揭示本质

一题多变，可以激发学生创造性思维，从而进行有计划的探究，进而揭示数学问题的本质，达到事半功倍的教学效果。

一、 一题多解，拓宽思维。

一题多解是多角度、多侧面地思考分析数学问题，通过纵横发散，探求不同的解题途径。

例如：甲、乙两人同时从李村出发，步行去王庄，5分钟后，甲返回李村取笔，没有停留继续步行去王庄，恰与乙同时到达王庄，如果从两人同时出发开始起计时，那么，35分钟后两人同时到达。已知甲每分钟所行路程比乙每分钟所行路程的2倍少30米，求甲、乙两人的速度各是多少？

解：设乙每分钟行x米，则甲每分钟行（2x-30）米。

解法一 在路程上选一个量（李村到王庄的路程），用两种方式进行表达，得：

35（2x-30）-2×5（2x-30）=35x，

或（35-2×5）（2x-30）=35x

解法二 在速度上选一个量（乙的速度），用两种方式加以表达，得：

x=35（2x-30）-2×5（2x-30）3×5

解法三 在时间上选一个量（甲全程所用35分钟），得

35=35x+2×5（2x-30）2x-30

通过对本题多种解法的探究，不仅复习了行程问题里的速度、时间和路程之间的关系，而且培养了学生通过纵横发散思维多角度思考数学问题的习惯，揭示了行程中的数学本质。

二、 一题多变，提升思维品质

（一）转化题设或结论

通过转化习题的题设或结论，并结合问题的内涵与外延进行深入与扩展，从而得到一类变式题组，发展数学解题的思维深度。

比如：在Rt△ABC中，当∠C=90°时，则 c2=a2+b2.（勾股定理）

变换1：当∠C不是90°时，c2=a2+b2仍成立吗？如果不能成立，a，b，c三邊又成何关系呢？

变换2：已知所有符合a2+b2=c2的正整数解即为一组勾股数，如：3、4、5，5、12、13，9、40、41，…那么是否存在正整数a，b，c，使a3+b3=c3呢？

（二）变换设问方向

针对综合性较强的数学问题，引导我们将其分解为几个基本问题，通过对基本问题的求解，逐步达到解决问题的目的，从而培养思维的批判性和深刻性。

例如：已知点P（a-2，a2-4）在x轴负半轴上，求点P坐标。

变换1：已知点P（a-2，a2-4）在第二、四象限的角平分线上，求点P坐标。

变换2：已知点P（a-2，a2-4）在直线y=2x+3上，求点P的坐标。

变换3：已知点A（-3，m）、B（n，4），若AB∥x轴，求m的值并确定n的取值范围。

三、 一题多用，打开视野

有时一个求解思路、解题规律可以适用于一系列看似问题差异很大的题目求解。

例如：（1）下列图1中各有几条不同的线段？从中你能发现什么规律？

（2）如图2，已知∠AOB是锐角，以点O为端点向∠AOB内部作一条射线，则图中共有多少个角？若作两条、三条射线有多少个角？若作n条射线时有多少个角？画一画，你能发现什么规律？

（3）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）与邻补角：

①图3（1）中共有 对对顶角， 对邻补角；

②图3（2）中共有 对对顶角， 对邻补角；

③图3（3）中共有 对对顶角， 对邻补角；

④研究①～③小题中直线条数与对顶角，邻补角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角。

以上一系列问题的解决，打开了学生解题的视野，培养了学生建模思想和题目整合能力。

数学题目千变万化，唯有问题的本质亘古不变。在数学教学中，数学教师应该高屋建瓴，引导学生积极进行一题多变的研究，在探究中揭示问题的本质，从而习得丰富的解题经验。endprint