例谈用几何变换思想指导初中几何的学习

陈建新

(浙江省义乌市廿三里初中 322013)

1 从几何发展史看几何变换

以《几何原本》为代表的古希腊数学将逻辑学引入几何，开创了用定义、公理(也包括公设)、定理来阐释几何的公理化逻辑论证的先河，以逻辑推理能力为主要表现的理性精神得到充分显现.但是希腊几何缺乏对于运动的阐释，在整个《几何原本》[1]中，并没有从图形运动变化的角度来认识图形及几何问题，《几何原本》中关于图形的数量及位置关系的讨论完全是静止地、技巧地构造三角形全等的方法来展开的．在解析、分析及集合论、群论的基础上发展起来的几何变换可以有效地解决传统欧氏几何课程中的上述不足．把几何变换引入传统欧氏几何既能保持欧氏几何在论证上的优点，又能很好地克服欧氏几何所缺乏运动变换的观念．

1872年， 德国数学家克莱因在《爱尔兰根纲领》中将几何变换用于认识欧氏几何，促成了人类对几何本质的深刻认识:“一种特定的几何学就是研究图形在一个特定的变换群下维持不变的那些性质的学问．例如，平面的欧氏几何，是那些图形性质在旋转、平移、镜射以及相似性下维持不变的研究．因此，当两个三角形全等时，如果由欧氏的一个对称、一个平移、一个旋转，以及可能是一个镜射的组合变换，其中一个可以变换到另一个．”[2]“几何学中的不同方向采用的起始公设就可以这样来表征，即它们都是处理某个简单的线性变换群的不变理论．”[3]于是同一类里的所有图形所共有的几何性质和几何量就是这个变换群下的不变性与不变量；反过来，如果图形在这个变换群中一切变换下的不变性和不变量必定是同一个等价类中一切图形所共有的性质．这样就可以利用变换群的观点来讨论或研究相应的几何学[4]．

由于欧氏平面上的正交变换构成群，因此可以利用正交变换建立合同(全等)概念，即一个图形与经过正交变换所得到的对应图形合同．这样欧氏几何就成为研究同一等价类里一切图形所共有的性质，图形关于正交变换群下的不变性、不变量所构成的所有命题就自然构成欧氏几何的研究内容．从而，从几何变换的观点来认知几何，不仅几何的本质能够得到深刻的揭示，而且从几何变换的观点揭示几何，还能很好地沟通几何与现代数学的联系，有力地消除欧氏几何的“孤岛”效应，正如史宁中所说“……，把变换的思想讲了，……，这样就能克服两个缺点:知识陈旧和不直观的问题”[5]．

纵观当前我国的初中数学，领悟数学基本思想是新课标明确提出的教学基本要求.几何变换本身及其应用过程蕴含了丰富的数形结合、转化与化归、分类讨论、建模等基本数学思想；另一方面，从实用的角度看，几何变换问题是中考压轴题的难点热点问题，运动观点的应用也有利于初中生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.几何变换的思想拓宽了认知初中几何课程的视野，用几何变换的方法来处理初中几何课程的难点问题是“把教学建立在现代数学的思想基础上，使中学课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言，使学生的思维向现代数学思维发展”[6]的一个显著体现，已经越来越受到重视．我国2011版的义务教育数学课程标准就明确规定了有关几何变换的课程内容[7]，[8].

2 例谈初中几何中的几何变换

2.1 全等变换

在平面到自身的一一变换下，如果任意线段的长和它的象的长总相等，那么这种变换叫做全等变换，或称合同变换.一般来说，初中教科书中都只是简单地指出“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，但是如何才能实现处于特定位置上的两个图形(线段、三角形等)之间的重合呢?下面，我们从几何变换的角度来讨论.

2.1.1 平移变换

平移变换就是将平面图形上的所有点都按固定的方向，移动相同的距离.也就是说，平移变换将平面上的所有点都进行一次平行移动，保持各条线段长度，各条直线所形成的角度不发生变化.也可以认为平移变换只是改变了图形的位置，不改变图形的大小和特征.

例1如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点E，已知∠DBC=60°，BD=12 且BE∶ED=5∶1，求梯形ABCD的腰长.

图1

分析与解由于两条对角线相交，不直接构成三角形，因此，可以考虑“平移变换”使两条对角线在同一三角形中，这样就可以使条件聚集，从而使问题得以解决.

评析此题是平移变换的一个最基本应用.AC平移到DF的变换过程保持了线段大小不变即DF=AC，角度不变即∠DFB=∠ACB，将分散的条件集中到等边△BDF中，从而为求解提供了可能.

2.1.2 轴对称变换

由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换.连接新图形与原图形中每一组对应点的连接线段都被同一条直线垂直平分，每组对应点互为对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴.在变换前后图形中的对应线段大小和所成的夹角不发生变化.

例2如图2，在Rt△ABC中，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，求证:△DEF的周长大于BC.[9]

图2

分析因 △DEF的周长DE+EF+DF不易从图形中直接与BC进行联系，于是想到通过轴对称变换，将三角形的三边转化为由三条线段组成的折线，进而由两点之间线段最短证出结论.

证明过点D做直线BA，AC的对称点N，M.连接DM，DN，EN，MF，MN，于是得到DF=MF，DE=NE.由条件知D点是BC的中点，所以有DN=AC，DM=AB，故有△DMN≌△ABC，于是MN=BC.由∠CAB=90°和轴对称的条件，可得∠MAN=2×90°=180°，可知点M，A，N三点共线，点M，F，E，N四点不共线. 根据两点之间线段最短，有BC=MN

评析解决几何问题时，常常遇到条件与结论中某些元素之间的关系不明显，或条件中的某些元素之间的关系比较分散的情况，这时常常可以借助条件中角的平分线，线段的垂直平分线等对称元素进行轴对称变换，从而使分散的条件集中，让条件与结论间的关系显山露水.

2.1.3 旋转变换

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相同的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角.图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都不变，都等于图形的旋转角.这种变换是用旋转运动的观点来分析两个图形的对应关系.

在解题过程中，若题中的已知条件简略且分散，且过一个定点有等长线段时，可以采用旋转变换，以便将分散的条件相对集中，使已知条件为未知元素服务.

例3如图3，若E、F分别是平行四边形ABCD的边AB和BC的中点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC.证明：△PFC和梯形APCQ的面积相等.

图3

分析因为△PFC与梯形APCQ有公共的边PC，这样若以PC为底，△PFC与梯形APCQ的高之比就等于PF与AP的比，于是问题即转化为求AP与PF以及AQ与PC的比，从而自然想到用旋转变换构造相似三角形.

评析这是第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛的一道题，相对来说有一定难度.但仔细分析结论，问题的本质是求线段的比，于是利用中点进行旋转变换，以便构造全等(相似)三角形，自然是顺理成章的事情.该例的关键是抓住了旋转变换的不变性和不变量，即BM平行且等于AQ，BN平行且等于AP，从而实现问题的有效转化.

例4在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．(1)如图4，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；(2)如图5，连结AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；(3)如图6，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值.

图4

图5

图6

评析本题是笔者参与命题的义乌市2012年中考第23题，紧紧围绕旋转不变性这一主干知识，有效考查了学生的几何直观、运动观念和转化思想.

2.2 相似变换

把一个图形放大或者缩小若干倍后得到的图形跟原来的图形相似，这种变换称为相似变换.在变换群下的严格定义为，在平面内到其自身的变换下，如果对于任意两点A、B以及它们的对应点A′、B′，总有A′B′=kAB(k0).当k=1时，相似变换其实就是全等变换.显然，相似变换就是全等变换的一般性推广.

图7

图8

分析路径长问题首先要弄清路径是什么图形，尝试画图可以发现，点E的轨迹在一条直线上，再从起点、终点入手，确定运动路径为一条线段.

评析两次相似变换本质相同，即保形(形状不变)；功能各异，第一次意在探究轨迹，第二次则直接应用于求解.本例揭示了一个基本事实：平面内，一个图形F1(等腰Rt△DCE)绕着一个定点(点C)，在作保持相似变换(△DCE始终是等腰直角三角形)的旋转过程中，若已知该图形上的某个点(点D)的运动轨迹为图形F2(线段AB)，则图形F1上的所有点(旋转中心除外)的运动轨迹(线段E1E2)都与图形F2保持相同特征.

上述解答过程给出了图形F2为一次曲线时的证明方法，现以圆、双曲线为例(抛物线同理)证明图形F2为二次曲线时的情形.

(1)当图形F2为圆时.

如图9，点A1、B是图形F1上的两个定点，图形F1绕定点P作保持相似变换的旋转运动，且点A1在半径为R的⊙O上运动，则点B的运动轨迹也是一个圆.

图9

又OA1=OA=R，所以O1B1=O1B=r.即对任意一点A1，点B对应的点B1始终满足到定点O1的距离等于定长O1B(r).所以点B的运动轨迹是以点O1为圆心，定长r为半径的⊙O1.

(2)当图形F2为双曲线时.

图10

在相似变换中还有一种特殊的变换叫位似变换，即两个多边形不仅满足相似，且对应顶点的连线还应相交于同一点O，这样的两个图形就叫做位似图形，O点叫位似中心，此时的相似比又称为位似比.

显然，位似变换除了具有相似变换的一切性质外，它还具有自身的性质，即不通过位似中心的对应线段平行.

例6如图11， 已知PT、PB分别切圆O于T点、B点，AB为直径，点H为T点在AB上的射影.求证:PA平分TH.[10]

图11

2.3 几何变换的综合运用

还有一类问题，就是运用平移变换、旋转变换、轴对称变换或相似变换中的组合问题，是对变换思想的综合考查.

例7如图12，设△ABC，AD⊥BC于D点，过D点引一条直线EF，且有AE⊥BE，AF⊥CF.若点M和点N分别为线段BC，EF的中点，证明:AN⊥MN.

图12

分析由题意，E点和F点显然分别在以AB、AC为直径的圆上.其中，A点和D点是这两个圆的交点，联系结论，观察图中的三角形.若结论成立，容易发现，△AEB、△ANM和△AFC这三个三角形的形状看上去十分相似.于是自然可以联想到，这应该是结合了旋转变换的相似变换.以A点为旋转中心，三角形的另外两点分别在直线EF和直线BC上运动，但运动的同时保持三角形的形状不变.

经过分析，我们已经找到题目的入手点了，即证明△AEB∽△ANM∽△AFC.根据条件，容易证得∠AEB=∠AFC=90°，于是只要证明存在一个绕A点从B点到E点，以及从C点到F点的旋转相似变换即可.而这容易由∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB得△AEF∽△ABC，从而由N，M分别为EF，BC的中点知旋转相似变换把M点变为N点，进而容易证明△AEB∽△ANM∽△AFC，于是有∠ANM=∠AEB=90°，即AN⊥MN.

3 结语

一百年前克莱因在《爱尔兰根纲领》中所倡导的用几何变换来认识几何的思想，随着时代和数学的发展，应该在初中几何课程的教学中发挥更加积极的作用.而这其中，如何用几何变换的思想认识两个三角形之间全等、相似等有关几何变换的基本问题，应该成为初中几何课程在教学实践中有效开展几何变换观念指导下的几何教学特别需要回答的最基本问题．

通过前面的叙述我们也可以发现，几何变换不仅提供了逻辑演绎推理的程序，还包含着大量的观察、探索、发现的创造性活动，有助于培养学生用运动的视角去认识图形变化的内在联系和本质，从而更大限度地开发学生的学习潜能与创新活力.相信几何变换的基本观念在初中几何课程中的实践与探索，在某种程度上一定能有效促进我国初中几何课程的建设．