例谈难点突破的教学策略*

毛锡荣

(无锡市辅仁高级中学 214123)

“三角函数的应用”是苏教版必修四第一章《三角函数》第三节第四部分的内容．教科书专门设置这一节，意图是让学生感受三角函数在解决具有周期性变化规律问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．建立和运用三角函数模型解决实际问题，对教师来说是很简单的，但对高一学生而言，却是一个全新的内容.什么是简谐运动？为什么三角函数模型能描述和刻画简谐运动？怎样建立三角模型解决具有周期性运动特征的实际问题？他们既感到陌生，又难以理解．

为了有效地突破这一教学难点，在教学过程中，教师要充分了解学生的已有经验和认知特点，站在学生的角度，想学生之所想，设计贴近学生实际的、层次分明的递进性问题，与学生一起走入学生的原有知识和经验中去，通过合作交流的探究活动，展示建构刻画周期性现象的数学模型的思维过程，帮助学生突破认知的难点，促进学生的知识建构和数学理解．基于这样的思考，笔者在教学实践中，运用“适时铺垫，搭建台阶”、“操作活动，暴露思维”和“技术支持，促进理解”等教学策略，取得了良好的效果．

1 适时铺垫，搭建台阶

精心设计一系列有层次、由浅入深的梯度问题作为铺垫，搭建台阶是帮助学生突破难点的重要手段.学生在学习中遇到难以解决的问题，其中有很大一部分是由于问题的内容跨度大，思维层次高，学生没办法领会，更别说去加以解决.这时，教师只有在学生思维的最近发展区精心设计一系列难度由浅入深，思维跨度由低到高的问题链，为学生铺设台阶、搭建起思维活动的脚手架，通过问题链之间的前后衔接、相互呼应，引导学生积极思维，大胆质疑，才能有效地降低学生的思维的难度，减小思维的落差，在师生共同思考、合作探究和问题反馈中一步步剖析问题，解决问题，实现知识的建构，促进学生的数学理解．

片断一

图1

问题1(如图1)在以O为圆心、A为半径的圆上有一点P，如何刻画点P的位置？

生1：以圆心O为原点，建立坐标系，可用坐标表示点P．

师：在图1中建立平面直角坐标系，并设P(x，y)，如果把点P看作从x轴开始旋转得到，还可以有什么方法．

生2：用以OX为始边，OP为终边的角θ表示．

师：在图中标出θ，两种表示方法有什么关系，

依据是什么？

图2

问题2(如图2)在平面直角坐标系xOy中，在以O为圆心、A为半径的圆上有一点P，从P0处开始沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为ω(rad/s)(单位时间内转过的角)，如何确定t(s)后点P的位置？

图3

问题3(如图3)在平面直角坐标系xOy中，在以O为圆心、A为半径的圆上有一点P，从P0处开始沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为ω，如何确定t(s)后点P的位置？

生5：设P(x，y)，OP在t(s)内转过的角为ωt，即

师：由活动3发现，若点P起始位置不在x轴，需要引入初始角φ．φ可以任意取值吗？

生6：能，φ是以Ox为始边，OP0为终边的任意角．

师：通过以上探究，我们知道了如何用三角函数刻画作匀速圆周运动的点P的位置．

需要注意的是，在引导学生解答系列问题的过程中，教师应该做好“角色换位”，充分考虑到学生认知结构中难以同化新知识的环节，给予学生提供思维的某些特定信息和“提示语”，诱导学生围绕问题的内容积极展开思考，不过分介入学生的思考，先让学生自觉先对问题进行研究，建立对问题的充分直觉，学生始终处于紧张的学习状态之中，教师通过对自身思维的“稚化”，与学生共同经历知识的发生发展，在这个过程中唤起和保持学生的注意力和兴趣，最后，通过问题链，层层推进，促使学生将己有的知识现状反馈给教师，教师及时修正和调整后，学生再反馈，最终达到教学的完美共建．

2 操作活动，暴露思维

数学教育学家(苏)斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动(思维活动)的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学，”也就是说，数学教学不仅要反映数学活动的结果，而且还要善于暴露得到这些结果的思维活动的过程，在数学教学中，教师不能也不应该将事先准备好的解题思路匆匆“抛”给学生，而应当充分暴露学生的思维过程，通过暴露学生的思维过程，还原学生思维活动的本来面目，保留或再现思维过程中失败的部分，才能找到学生思维的障碍或潜在于现象背后的本质，才能了解学生的思维活动的特点，把握学生的认知进程，引导教学活动的开展，有针对性地进行释疑或弥补，从而顺利地突破教学的难点.

片断二

问题一半径为3m的水轮如图4所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间，试将点P距离水面的高度Z(m)表示为时间t(s)的函数.

图4

师：请大家思考一下，运用我们已经学过的知识，怎样解决第一个问题？可以相互讨论．

生7：只要确定点P的位置，写出点P的纵坐标．

师：如何确定点P的位置，我们首先要做什么？

生7：建立坐标系．

师：怎样建系呢，建系的最优标准是什么？

生7：以O为原点、水平方向为x轴建系，建系要尽量使计算简单，图形尽量对称．

师：在图4中建立平面直角坐标系，现在能表示点P的纵坐标了吗？

生7：不能，点P的起始位置不在x轴上，需要引入初始角φ．

师：设哪个角为φ？

生7：设∠P0Ox=φ．

师：我们可以这样表示任意角吗？

生7：哦，应该设以OX为始边，OP0为终边的角为φ．

师：φ角有范围限制吗？

师：现在能作出解答了吗？

师：怎么求φ?

师：本题看上去关系复杂，但构建恰当的平面直角坐标系后，转化为用角的正弦来表示点P的纵坐标，进而表示出高度Z，关键是如何确定以OX为始边，OP为终边的角，这在问题3中已得到了解决的方法，随后就可以把实际问题抽象为三角函数模型．

简明的教学环节如剥茧抽丝，教师充分利用设问、追问、反问等手段，通过环环相扣又层层递进的问题引领学生展开数学思考，让学生的思维在碰撞中激活，迸发出智慧的火花，并不断地向纵深发展，使学生的思维活动过程完全暴露出来．以学生为主体的课堂，要鼓励学生讨论和交流，让学生的各种想法直接交锋，使学生在交流和会话的过程中对所学的知识和方法建立自己的思考与认识，让学生在互动的合作中“明道”，这是帮助学生突破教学难点、发展学生的数学思维、提升学生的数学素养的有效途径．

3 技术支持，促进理解

对于教学难点的突破，传统教学中有很多方法，但有些难点用传统方法来实现突破效果往往不理想，随着信息技术的成熟，几何画板、Flash动画等技术手段越来越多地介入到数学教学中，为教学难点的突破提供了新的物质技术条件.教材中的例1是有关简谐运动的实际问题，在讲解y=Asin(ωx+φ)的图像时作为引例出现过，前期教学中教师一般是一带而过，有的甚至刻意回避，所以学生仍不知简谐运动是什么，在心里有一个理解上的疙瘩．为了解决这一问题，笔者借助信息化手段，用几何画板动画演示，形象地解释了简谐运动的特点，降低了认知困难，为学生直接使用三角函数模型解决简谐运动的实际问题扫清了障碍．

片断三

师：刚才我们研究的是实际问题中作匀速圆周运动的点P运动规律，下面让我们改变一下观察角度，请观看动画(如图5)，如果有一束平行光把点P投影到y轴上，那么投影点P′运动特点是什么？

图5

生8：点P′在作往复运动．

师：正确，这在物理中称为简谐运动，可以用什么函数刻画这个运动呢？请继续观看动画，(图6，图7)

图6

图7

生8：三角函数．

师：很好，你能回忆一下教科书上是怎么介绍简谐运动的吗？

(学生并不熟悉，教师用PPT展示教材34页相关内容，板书简谐运动的三角函数模型)．

师：已知简谐运动，可以直接使用三角函数模型解决有关问题．看下例，请解说题意．

例如图8，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．

图8

(1)求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；

(2)求该物体在t=5s时的位置．

生9：点O右侧位移为正，左侧位移为负；当t=0时，位移x=3．

师：很好，请大家完成在作业纸上．(学生自主完成后，选择几位有代表性的学生的解法用手机拍照，借助茄子快传软件实时投影讲评．)

师：这道题可以直接使用模型，因为物理中的简谐运动的“运动学”定义就是“相对于平衡位置的位移和时间满足正弦型或余弦型规律的机械振动”．三角函数在物理中有比较多的应用，如单摆运动，波的传播，交流电等，都可用三角函数分析和理解．

现代信息技术应用于数学教学，服务于教学，这个不应该是句空话，要落到实处，教科书就是一个重要的载体．信息技术能够帮助学生化解函数的高度抽象性带来的学习困难，借助信息技术可以实现教学内容的可视化、动态化、可操作性，增强学习活动的探索性．[1]现代信息技术的教学环境下，教学信息的呈现方式多样而有趣，可以使“抽象问题形象化，复杂问题简单化，枯燥问题有趣化，微观问题宏观化”，“把快变慢，把慢变快”，恰当的技术手段不仅有助于突破教学难点，还可以在引入新课、创设情境、培养学生的能力、激发学生学习兴趣、增加课堂容量等方面发挥显著的辅助作用．

在组织“三角函数的应用”这一内容的教学活动时，通过创设情境中的三个问题的铺垫，找到了知识的固着点，给学生的思维活动搭建了台阶，再通过接下来的探究活动，使学生的思维达到了一定的深度，具备了突破难点的能力，这时，教师抓住学生思维发展的有利契机，立即进行变式训练和解决水车这一典型问题的操作活动，使学生经历由实际问题建立数学模型、解决实际问题的数学建模过程，体会三角函数模型在描述和刻画具有周期性变化规律的实际问题的作用，这样做的结果是实现了教学难点的有效突破，很好地培养了学生运用三角函数的知识分析和解决实际问题的能力．