基于学生认知水平的数学建模教学实验研究①——以WA中学高一年级学生为例

赵成慧 彭乃霞

(1.黔南民族师范学院数学与统计学院 558000；2.贵阳市白云区兴农中学)

引言

数学建模能力在基础教育阶段的重要性毋庸置疑，它是培养学生解决问题能力的有效途径.基于学生认知水平开展教学是教学有效性的重要保障，为教师进行有针对性的教学提供依据和前提保障.高一处于初高中衔接的过渡期，在思维形式和学习习惯方面都需要作出较大的变化.高一学生多数处于14、15岁，根据皮亚杰的认知发展阶段理论，属于形式运算阶段的相对稳定期，能够进行抽象的思维，具备一定的演绎推理能力、命题推理能力、组合分析能力.对这个阶段的学生进行数学建模教学，培养其建模思想、解决问题的能力是必要的.在高中数学必修系列中，高一学生将首次从集合的角度去理解函数，并相继学习能够刻画现实情境的基本初等函数模型，这为培养高一学生数学建模思想提供了重要的保障.本文以函数的应用为题材，基于学生认知水平对数学建模教学进行实验研究.首先，将学生认知水平分为记忆、理解、分析、运用、综合五个层次，对学生学习能力方面的认知水平进行考察.其次，依据学生认知水平进行数学建模教学实验研究.

1 学生认知水平的划分

1.1 评价体系的构建

本文测量学生数学认知水平的工具为数学认知水平的评价体系，这里主要沿用布鲁姆的六级目标分类即知识、理解、应用、分析、综合与评价六层评价体系，对其做进一步修正与细化，建立了包括记忆、理解、分析、应用、综合五个层次的评价框架量表，划分学生认知水平.

表1 学生认知水平构建表

1.2 试卷的编制

试卷共5个大题，11个小问.第一大题、第三大题、第四大题、第五大题都分别分为两问，第二大题分为三问.五道大题的分值分别为10分，15分、20分、20分、25分，满分90分.

以试卷的方式考察学生认知水平.测试题目结合被调查学校的教学进度安排，题目从各地高考题、一些已有的开放题中选取、进行适当的改编，构成了符合考察学生认知水平的题目.主要从学生对数学概念、性质的记忆、理解、分析、应用以及综合五个方面进行考察.

图1 测试题目在各认知水平上的分布

1.3 评分标准

划分学生认知水平，不能笼统地从每道题的得分上进行简单的划分.学生对问题的理解、逻辑推理、表征方式、迁移转化、解答过程等无一不体现其思维过程.因此，在制定划分学生认知水平的标准时，主要针对学生对每一问的回答过程以及知识点、步骤给分.由于本文界定的5个认知水平之间存在关联性、递进性，所以题目中既含有只考察某个认知水平的题目，也含有包含多个认识水平的综合性题目.

表2 划分学生认知水平测试卷的评分标准

从表2中可以看出总分在20以下的属于记忆水平的学生，在20～45分之间的属于理解水平的学生，45～65分之间的属于分析水平的学生，65～75分之间的属于应用水平阶段的学生，总分在75～90分阶段的属于综合水平的学生.

1.4 实验对象

本研究的实验对象为贵州WA中学高一年级两个同一层次班级的全体学生，一个班作为实验班，另一个班作为对照班，实验班45人，对照班51人，共96人.为了验证实验班与对照班是否属于同一层次的班级，进一步对两个班级进行差异分析.检测材料为划分学生认知水平的测试卷.

表3 实验班、对照班测试成绩独立样本t检验结果

如表3所示，检验的显著性概率 Sig.为0.288>0.05，说明方差齐性，因此选用Equal variances assumed进行分析，2-tailed sig的值为0.653>0.05.因此，认为实验班、对照班测试成绩没有显著差异，可作教学对比研究.

1.5 测量结果与分析

根据学生对题目的作答情况，按照量表批改试卷，并利用excel、专业数据统计软件spss20.0进行分析处理.

表4 班级*水平层次交叉列联表

从表中4可以看出，在实验班中分别有2人，16人、15人、6人、6人处于记忆水平，理解水平、分析水平、应用水平、综合水平；在对照班中分别有4人，24人、11人、8人、4人处于记忆水平，理解水平、分析水平、应用水平、综合水平.

图2 学生认知水平层次图

2 基于学生认知水平的数学建模教学实验研究

2.1 实施变量说明

本次实验的自变量是基于学生认知水平的数学建模教学，因变量是后测试卷成绩.在尽量控制无关变量影响的条件下，对实验班的数学建模教学采取相应的教学策略，采取将不同认知水平的学生进行组合的分组教学形式进行教学，按照学生认知水平选取建模教学题材.在普通班则主要按照传统教学方式集体授课形式进行教学，选择建模教学题材为书本内容.

实验模式如下表5：

表5

2.2 实验假设

为了确保实验内部效度，本实验研究在以下假设前提下进行：

实验班与对照班学生学习态度无差异；

实验班与对照班的学习环境无差异；

实验班与对照班教学时间、时长一样.

2.3 实验实施

本实验主要在实验班进行，对照班作为参照班级.实验过程主要包括对实验班学生认知水平的划分；在学生认知水平之上对学生学情进行分析，确定学生的学习需求；选择适合的建模题材；选择合适的教学方法等.

1.前期分析

实验的前期分析主要对学生已具备的知识与能力、能够达到的或可能达到的能力以及学生需要进行分析，为实施教学做准备.一般包括学习需要分析、学习内容分析、学习者特征分析以及学习背景分析，确定认知领域目标.如在学习函数模型教学时对教学做前期分析如下：

(1)学习需要分析

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.函数及其应用是整个高中数学的主线内容，函数的思想方法贯穿了高中数学课程的始终.通过结合实例，学生能够体验到应用函数建立模型的过程与方法，感受函数解决实际生活问题的实用性.学生通过运用函数的思想方法解决实际问题，除了能够培养自身提出问题、分析问题、解决问题的能力之外，也能提高自己的逻辑推理、数学抽象等数学素养.

(2)学习内容分析

人教A版高中数学教科书必修1包含集合与函数的概念，基本初等函数以及函数的应用三个章节，每一个章节无论是概念的引入、例题的设计、练习的安排均是通过解决实际问题为出发点而设计的.函数的应用位于本册书的最后一章，上承集合与函数的概念，其中指数函数、对数函数、幂函数等内容，几种基本初等函数的学习为本章内容提供了模型准备.在函数模型及其应用一节又分为几类不同增长的函数模型，对指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型的应用等实例部分.

(3)学习者特征分析

实验班的45名学生中，分别有2人、16人、15人、6人、6人处于记忆水平，理解水平、分析水平、应用水平、综合水平，大多数同学都属于理解水平和分析水平的学生，记忆水平和综合水平的学生所占比例较小.在平时教学中，实验班课堂氛围活跃，对数学教学活动表现出较强的兴趣.但是，针对个别提问时，该班同学不是很积极，他们更愿意以集体回答的形式与教师交流.可见，实验班学生不够自信.因此，在实验班教学时，给学生提供更多的机会锻炼其数学交流表达能力是很有必要的.

(4)学习背景分析

根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，在函数应用的教学中，教师应该关注以下两点：

第一：教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型；

第二：引导学生体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.

(5)认知领域的目标

普通高中课程标准确定本章学习目标如下：

第一：能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型，解决问题；

第二：能够从函数的角度认识方程，应用函数的性质求方程的解或近似解；

第三：能够应用函数的性质解不等式；

第四：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用性.

2.建模素材的选取

建模素材的选取直接影响教学的达成度,针对不同的学生，什么样的建模素材在学生接受范围内，学生有能力去解决它或者使学生对其产生兴趣？这是个值得教育者思考的问题.

在本次实验中，实验班学生认知水平普遍集中在理解水平和分析水平，故可以选择贴近生活的中等难度题材或者选择逻辑性较强的题材作为建模教学题材.如本例选用人教A版高中数学必修1函数模型的应用例4，对其进行适当改编，作为实验题材.如：

人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：

y=yοert，

其中t表示经过的时间，yο表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.表6是2005～2014年我国的人口数据资料：

表6

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

(2)如果按表6的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到14亿？

解：设2005～2014年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由

130756(1+r1)=131448，

可得2006年的人口增长率r1≈0.0053.

同理可得，

r2≈0.0052，r3≈0.0051，r4≈0.0049，

r5≈0.0048，r6≈0.0048，r7≈0.0050，

r8≈0.0049，r9≈0.0052.

于是，2005～2014年期间，我国人口的年均增长率为

r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0050.

令y0=130756，则我国在2005～2014年期间的人口增长模型为

y=130756e0.005t，t∈N.

根据表6中的数据作出散点图，并作出函数y=130756e0.005t，t∈N的图象(图3).

图3

由图可知，所得模型与2005～2014年的实际人口数据基本吻合.

将y=140000代入模型y=130756e0.005t，t∈N可得：t≈13.7.

所以，按照这样的增长趋势，我国人口数量大约在2019年达到14亿.

本例题源于对高中数学课本人教A版必修一第三章函数的应用第二节的例4进行改编.其目的是让学生通过亲自收集数据，完整的体验数学建模的整个过程.此题源于生活，实用性较强，容易激发学生的学习兴趣使学生找到建立模型的信心.作为高中阶段，认知水平处于理解水平和分析水平的学生，这类题材是相当适合的.

3.实验方法的确定

基于本次实验对象的认知水平，在实验班主要采取分组教学方式进行教学.将不同认知水平的学生进行搭配，其基本教学理念是人人参与教学活动，人人发挥作用，人人获得发展.分组过程中注意不要给学生“贴标签”，而是告诉学生其自身的优势，让学生自由组合，教师作出适当的调整.本实验将学生分成了7组，其中有4组6人，其余3组7人.把教师视为是公共元素，将不同认知水平的学生分到7个不同的集合中，这里采用贵州省龙里中学王剑平教师提出的3T[注]3T指授课教师、及相互学习的两个学生.教学模式中分组理念，目的是除了教师与各小组之间相互作用之外，小组成员之间也要产生作用，要求小组成员要互相学习、帮助.而对照班采取传统的教学方式进行教学.

4.实验过程

(1)课前安排教学任务，要求学生收集从2005年到2014年我国人口数量

【设计意图】 学生通过收集数据，了解我国人口数量增长趋势，激发学生学习兴趣.

(2)学生分享收集数据成果，引入研究课题

【设计意图】 学生通过分享数据成果，集中学生注意力.

(3)阅读材料，提炼材料中有用信息

【设计意图】 学生阅读材料，初步对材料形成感观认识.经过对材料的反复阅读，提炼出材料中的有用信息，旨在培养学生阅读能力和理解能力.

(4)小组汇报所提炼的信息，其他小组进行补充

【设计意图】 以小组汇报形式将各小组所提炼出的信息进行交流，一方面在小组之间的相互作用下补充完整题材中的各个要点，以免有小组获取的信息不完整，影响教学流程；另一方面，可以培养学生数学表达能力.

(5)各小组确定目标，分解目标任务，做出分工

【设计意图】 让小组确定目标，其目的是让各小组明白小组需要做什么；分解目标任务，其目的是让各小组寻找方法理清解决问题的步骤，明白他们需要做什么；做出分工，其目的是调动各小组所有成员一起完成，做到人人参与.

(6)小组汇报成果，小组代表进行讲解

【设计意图】 小组汇报结果，其目的是让学生进行展示自己的最终成果，在其中收获付出的喜悦感，让小组代表做讲解便于小组之间相互理解.

(7)学生总结，教师提炼补充

【设计意图】 学生展示完成成果，教师作评价，肯定同学们成果的同时指出不足，作总结性评价.

2.4 实验结果分析

表7 实验前后均值统计结果

从表7中可以看出，实验班与对照班在实验前后的测试成绩均值的差别.在实验班，前测成绩平均分为52，后测成绩平均分为59.87，经过实验平均分提高了7.87分.对照班前测成绩平均分为53.5，后测平均分为53.78，后测比前测平均分提高了0.28分.由此可见，基于学生认知水平的数学建模教学具有一定成效.

为了进一步验证实验的有效性，本研究采取独立样本t检验方法对实验班、对照班后测成绩进行差异检验.

表8 实验班、对照班后测成绩独立样本t检验结果

从表8中可以看出，检验的显著性概率 Sig.为0.303>0.05，说明方差齐性，选用Equal variances assumed进行分析，2-tailed sig的值为0.049<0.05.因此认为实验班、对照班后测成绩具有显著性差异.可见，教学实验颇有效果.

同时，本研究采取配对样本t检验方法对实验班实验前后测试成绩的平均值是否具有显著性差异进行检验.

表9 配对样本的相关分析表

表9中实验前后测试成绩的相关系数为0.792，伴随概率sig.为0.000(<0.05)，说明相关性显著.

表10 实验班实验前后配对样本t检验的结果

表10中实验前后学生测试成绩差值的均值为-7.8667,概率2-tailed.sig.为0.003<<0.05)，因此有95%的把握认为实验前后实验班学生成绩发生变化，说明实验效果较好，对学生数学学习成绩的提高起到了较大的帮助.

3 主要结论

本章主要基于高一学生认知水平，对数学建模教学进行了研究.在实验班主要采取对学生进行科学分组、培养学生阅读能力、表达能力、分析问题能力与解决问题能力的教学策略.对照班采取传统的教学方式即集体讲解，按照课本内容按部就班进行教学.结果显示：

(一)基于学生认知水平做教学前期分析，明确教学目标

依据学生认知水平设计课堂教学，是教学有效性的重要保证.教师只有充分地了解学生现有认知水平，清楚地界定学生的需要，才能对教学的把控做到“心中有数”使教学对学生产生作用.从而提高教学效率.

(二)根据学生认知水平选择建模素材，有助于学生对数学知识、方法的构建

数学建模素材的选取直接影响学生对知识、方法的构建，是教学达成度的前提保证.若选取的题材较难，学生不能理解题意，与题材不能进行连接，达不到教学目的.若选取的建模题材较为简单，达不到培养学生、锻炼学生的作用，不能满足学生的需求，等于在浪费学生的时间.因此，了解学生认知水平并基于此选择建模素材是较为科学的选取数学建模素材的方式.

(三)根据学生认知水平将学生分组，有助于各不同层次的学生参与教学活动，达到合作学习的目的

数学教育倡导“不同的学生在数学上得到不同的发展”的教学理念 .对于具有抽象性特征的数学学科来说，学生之间的两级差距明显.根据学生认知水平将学生分组并安排相应的任务到个人，使人人参与教学，人人都能获得相应的发展.

(四)采取学生自主构建的学习方式，引导学生思考，体现学生的主体性

学生是教学中的主体.自主探索的学习方式、自我构建的数学学习方式不仅有助于学生发挥学习的主动性，还有利用学生“创新性”的培养，激发学生学习兴趣.