剖析“一个漂亮的证明”中所隐含的错误

贺 斌 闵 华

(湖北省谷城县第三中学 441700)

1983年第24届国际数学奥林匹克竞赛最后一题为

例1a，b，c是三角形的三边长，求证：

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0，

并说明上式中的等号在何时成立．

文[1]在回顾、展示了杨克昌老师于1986年给出的巧妙证明和当年参赛选手因证法简洁巧妙而获得特别奖的联邦德国学生伯尔哈德·李的证法之后，写道：“可喜的是，在1984年3月，湖南临澧一中高二学生杨承红提出一个漂亮的证明，是基于下述原理：欲证A≥B，如确认它与C≥D同真假，则只要证A+C≥B+D就可以了．由于I=a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0与I′=b2a(b-a)+c2b(c-b)+a2c(a-c)≥0同真假，而I+I′=ab(a-b)2+bc(b-c)2+ca(c-a)2≥0，故原不等式成立．”

如果上述证明正确，那它的确称得上是“漂亮的证明”．但令人遗憾的是，上述证明错了！错在没有弄清“轮换对称”与“对称”之间的差异，从而造成证明无效(原结论可能正确，也可能不正确！)．反例如下：

例2设a，b，c是三角形的三边长，求证(对于任意的a，b，c有)：

例1、例2不等式左边都是关于a，b，c的轮换式，它不是关于a，b，c的对称式．轮换对称式通常只具有对其所涉及的所有字母，按某一顺序依次轮换，其表达式不变的特性；而对称式则具有对其所涉及的所有字母，任意交换两字母的顺序，其表达式都不变的性质．所以，当证明涉及轮换对称式时，如果我们按另一种顺序轮换其中字母而得到另一个类似式子，那么所得式子与原来式子对于所涉字母的同一组值，两个式子的值不一定相等．此时文[1]所谓原理中所涉及的两个不等式A≥B与C≥D完全可能出现：对于所涉字母的某一组值，此真彼假；而对于所涉字母的另一组值，此假彼真．此时“A≥B恒成立”与“C≥D恒成立”(注意：“恒成立”应是文[1]所谓原理的本意！)必然同假！此种情况下运用文[1]所谓原理必然得出错误结论(例2正是如此)．

一般地，设A=A(a，b，c)，B=B(a，b，c)，C=C(a，b，c)，D=D(a，b，c)，其中所有(a，b，c)取值的集合为E．若A≥B恒成立与C≥D恒成立同真同假，则从A+C≥B+D恒成立并不能推出A≥B恒成立．这是因为：当A≥B恒成立与C≥D恒成立同假时，完全有可能存在集合E的非空真子集F，G(其中F∩G=∅，F∪G=E)，使得∀(a，b，c)∈F有A

如果A≥B恒成立与C≥D恒成立同真，那么我们的任务已经完成，完全没必要按照文[1]所谓原理所说的那样，绕着弯回来再搞个所谓的证明．值得注意的是：要判断两个命题的同真同假性往往比较容易，但要判断两个命题究竟是同真还是同假却并不容易！

类似文[1]的错误，在文[3]也存在．此类错误比较隐蔽，而且时有发生，很有纠正必要．