核心素养背景下的引言课教学——以“数系的扩充与复数的引入”为例

范东晖

(宁波市北仑中学 315800)

现行的高中数学教科书在数学分支开始前有引言，每章开头处有章头语，配有章头图.它通常以较浅的生活或学生能理解的实例作为入口，介绍了本分支或章节学习的内容、地位和作用，同时从数学角度揭示与本内容有关的人文背景、应用价值以及其中蕴涵的数学基本思想方法，激发学生的学习热情和兴趣，对本块内容的学习起先行组织者的作用.在培养核心素养的背景下,如何加强对章引言课的研究，发挥章引言应有的价值，下面笔者结合不久前受邀担任某市教坛新秀评比中三位教师(以下简称T1，T2，T3)开设的人教A版教材《数学》(选修2-3)中的第三章“数系的扩充与复数的引入”教学实例,谈一些章引言课教学的看法,供同行参考,以期抛砖引玉.

1 对数学核心素养的理解

1.1 何为数学核心素养

大家普遍认可北师大林崇德教授及其团队对核心素养所做的描述：核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力.对于数学核心素养的内涵，仁者见仁，智者见智，但基本认同应涵盖用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界，还有些学者认为应加上用数学知识服务世界.

1.2 数学核心素养的培养

作为知识教学的副产品和无意识沉淀下来的东西，核心素养的培育需要在数学知识的教学中，教师要讲清楚数学的来龙去脉和数学意蕴，讲清楚数学的精神实质和思想方法，讲清楚数学的丰富内涵和广泛应用，讲清楚这些看来枯燥无味的数学在日常生活中起到了多么重要的作用.而且，在此过程中培养学生举一反三的能力，即能利用旧的知识解决新问题的能力，或者更高一点：利用旧知识生长新知识的能力.这样一来，学生才能深切感受到数学在人类认识世界和改造世界中发挥了多么重要的关键作用，也就自觉地接受了数学文化的熏陶，提升了数学的核心素养.

2 为什么要上引言课

2.1 引言课的教学价值

教材最基本的功能就是教学资源.章引言作为全章起始的序曲，是全章内容的引导性材料，决定了他们在教学中的作用功能.

良好的开端是成功的一半.在本章知识学习前，带领学生“游景看花”，向学生介绍本章知识的必要性(为什么要学)，本章知识的大体结构框架(学什么)以及学习时所用的方法和思想(怎样学)，优化学生的认知结构，通过“树木”看到“森林”，并展示相应的数学文化，激发学习兴趣，让学生对即将学习的内容充满向往，营造积极的心理倾向，翘首以待新章节的学习.

章引言教学的最终落脚点是掌握数学基本原理,发展数学思维,培养发现和提出问题的能力，提升学生的学科素养，发展学生的综合素质，起到对学生教育塑造的功能.

当然，有的引言课还有其特殊的功能，如“数系的扩充和复数的引入”章引言中T1结合“神州十一”飞船发射升空，离建成真正意义上的载人空间站又近了一步，对学生进行德育教育，提升民族荣誉感和学习热情，认识世界和科技发展之窗与世界接轨的功能.

2.2 引言课教学现状

虽然“章前图”与章引言有许多功能，但在现实教学中，许多教师并没有给出足够重视，原因有多种.有的老师觉得没什么好上，也有的老师对章引言的价值认识不足，在实际教学活动中由于课堂时间有限，为赶进度，在学生对即将学习的章节内容毫无准备(思想和知识等方面)的情况下仓促上阵，学生学得云里雾里，对学科没有清晰的认识，甚至沦为“解题的工具”； 还有些老师认识到章头引言课的重要作用，由于“文字不多，没有配套练习”，教学中一带而过，直奔下一节所谓的“主体内容”，严重压缩了章引言应有的拉长知识“生长链”的功能.这种通过“树木”见到“树木”，致使学生学习碎片化，缺乏整体性与思想性，不利于学科素养的提高.

3 核心素养视角下引言课教学的思考

3.1 优化教学设计的过程，体现数学意蕴

引言课应由“引”和“导”两部分构成.“引”就是再现新知识的产生发展过程，从而引出新知识；“导”就是要学生明确为什么学，学什么，怎么学的问题.

在“数系的扩充与复数的引入”一章引言课中，从有理数到实数，可从现实的背景、数学内在的逻辑必然性两方面引入；从实数到复数，没有现实的实际背景，仅从数学学科背景引入.引入以后，紧接着研究“新数”的定义、表示、分类、性质、运算和运算律等等，这是研究新数系的逻辑结构的基本过程与方法.三位参赛教师充分利用数学史,挖掘数学课程资源,基本按照历史发展顺序把复数引入的过程展现给学生,让学生感受到复数的概念不是冰冷的和生硬的,而是鲜活和自然的.

T1一开始便结合时事热点，以“神州十一” 火箭发射视频为背景，体验火箭发射“节节高”，激发学生的学习热情，类比以前数系的扩充，猜想有没有比实数系更大的数系，结合经典的卡丹问题：能否找到两个实数：使得这两个实数的和为10，积为40? 然后以生产和社会发展以及数学上解方程的需要这两条线展开，回顾数系的扩充过程，能紧紧抓住数系发展的逻辑顺序.

T3从回顾旧知的角度引入，带领学生回顾“数”的学习过程，基本上也是以生产和社会发展以及数学上解方程的需要这两条线展开，回顾实数系的扩充过程，接着给出卡丹问题，引入虚数和复数，完成数系的再次扩充，讲解复数几何意义时，引导学生仔细看书上章头图中线条比较轻淡容易被“无视”的坐标系，这对学生认真阅读教科书的习惯培养是非常好的.后面介绍复数多方面的应用，进行了较好的课堂小结.整堂课知识结构和课堂结构完整,让学生对后面的学习有期待.

教师通过发掘数学知识形成过程中隐涵的数学意蕴，优化教学设计，展示一般观念指导下的发现和提出问题、分析和解决问题的过程，总结思维的方法等等.长此以往，学生在潜移默化中也就慢慢学会这一研究数学问题的基本“套路”.如学生可以用学习数系扩充的方法和套路来研究“向量”问题等.

3.2 注重数学文化的渗透，提升人文素养

数学课程标准指出：“数学文化应尽可能地结合高中数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，体会数学的美学价值，数学家的创新精神，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学的促进作用.”

作为章引言，往往是某一数学分支或模块知识的开始，这些内容能较好体现数学发展的历史轨迹，包含着一些人物事件，可更多地承载传播数学文化的重担.

在数系的扩充过程中,是因为在实数集内,像x2+1=0这样的方程没有实数根,从而需要扩充数系而引入复数.在教学中，作为对数学产生重要影响的复数概念不能轻描淡写一带而过.事实上,虚数概念的建立是人类数学创造的一个缩影,在实数范围内无解,回顾借鉴以前数系扩充的经验,通过引入新的数而使实数系得到进一步扩充,从而使问题得以求解,在复数概念的产生过程中,许多数学家经过长期艰难曲折的探索,其中蕴涵丰富的数学历史文化,可为教学提供优质的课程资源[1].在章引言课教学中，三位参赛教师让学生充分经历数的发展历史，挖掘数学文化知识,领略我们古代数学的辉煌成就，古希腊毕达哥拉斯学派所作的历史贡献，以及西方卡丹、笛卡尔、欧拉、高斯等一大批数学家对数系发展的推动作用，还有历史上的“第一次数学危机”，希帕索斯为无理数的诞生付出生命的代价.同样，在数学其他章节的学习中，也蕴涵丰富的数学文化，如“解析几何”的章引言可以结合当时工业发展、天文学研究、著名的三大几何作图等背景，介绍笛卡尔和他的坐标法形成和发展历史等等.

通过数学文化的学习，向学生展示数学在人类社会发展中的作用和科学家追求真理的精神，帮助学生树立正确的数学观和人生观，对学生进行思想教育，激发学生爱数学、学数学、用数学的兴趣和热情.

当然，在教学中一定要尊重史实，所引用的史料要充分考证.如 T2在教学中有这么一段话，回顾复数的发展史：1545年 “怪杰”卡丹称新数为“诡辩量”；100年后，笛卡尔称之为虚数；再140年后，欧拉称“幻想之数”，并首创了用符号i作为虚数单位；1830年，高斯引入“复数”这个术语，系统使用符号i.事实上，“虚数”这个术语最早是1637年法国数学家笛卡尔在《几何学》中给出的，而非瑞士数学家欧拉，欧拉1777年首创用符号i作为虚数单位；高斯定义复数概念，系统使用符号i，这件事情发生在1813年，而非1830年.另外，教师T3给出的时间轴顺序排列也有问题，实数概念的形成不是公元前6世纪，等等.

3.3 突出数学思想的引领，发展理性思维

一般地，章引言教学不宜对知识的具体细节做过多的追究，把握好“度”，应着重于知识内容的整体脉络，让学生感受本章主要概念的形成和发展的基本过程，体会其中所用的思想方法，了解人类从数学的角度认识客观世界的过程.

数系的扩充与复数的引入章引言让学生在以前学习的基础上，感受到数系的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化，复数的引入是对数的认识的又一次飞跃，就像人类进入太空实行对宇宙认识的飞跃一样. 三位参赛教师在引导学生适度总结归纳数系扩充的原则和方法,揭示数系扩充的本质内涵这方面做得还不够，他们往往仅回顾数系扩充的过程，基本上没有总结归纳数系扩充的原则和方法，事实上，每次数系的扩充,都是引入“新数”,在新的数系中,原来的运算(律)和性质仍然适用,且同时解决了某些运算在原来数系中不能实施的矛盾，实现“扩容”，这是我们数系扩充的本质内涵，形成数系扩充思想，这也使得接下去进一步学习复数的概念、运算和性质水到渠成.

正如在数系的扩充与复数的引入中体会数系扩充思想的引领一样，在计数原理的章引言要突出处理计数问题的分类和分步基本思想；统计的引言课要突出样本估计总体思想；立体几何引言课教学要体现“冲出平面，走向空间，回归平面”思想引领，等等.

数系的扩充与复数的引入的章引言，通过解方程等具体问题，从数系扩充前方程x2+1=0无解到扩充后的有解，数学地印证了列宁讲过的一个哲理：“真理只要向前一步，哪怕是一小步，有可能成为谬误.”可见真理都是在一定范围内，一定限度内，才成为真理.使学生理解数学真理的相对性.培养学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，发展学生辩证思想和理性思维.

数学课的根本目的是育人.把育人融入教学，融入“数学的逻辑思维和理性精神”等核心素养的培育之中，用“数学的方式”育人，这就需要我们教师在一定的哲学思想指导下的精妙实施，提升数学课堂的品位，真正做到教书育人[2].