高中数学数形结合思想的研究

杨欣怡

【摘 要】广义上讲数学就是研究“数”与“形”的学科，“数”即不同量之间的直观表达，而“形”就是数据表达的形象体现，两者在教材内容中有着丰富的体现。首先是在集合的学习过程中，恰当地建立数轴或是韦恩图法，能将抽象的数学信息转变直观的图形体现，进而提高解题能力。其次是函数和方程的运用，函数和方程是与图像关系最为紧密的分支体系，恰当设参，建立关系能有效解决函数的极值以及方程根的分布。最后是圆锥曲线的学习，作为高中最难的一部分，若能有效利用图像对相关概念和运算清楚进行把握，并在题目给定的条件综合其几何和代数表达，形成一套完整的数学问题求解的思想方法，将对学生学习能力有质的提升。本文结合教材相关内容，举例说明“数形结合”思想在高中数学中的应用。

【关键词】高中数学；数形结合；集合；函数方程；解析几何

1.数形结合在集合中的应用

1.1利用数轴求解数集问题

数轴常用来解决数集问题，其实质是参数的几何表达。解题的关键把握集合基本概念，并将数值用数轴准确表达。比如在对数值集合进行求解的时候，可以先通过对集合下的数值进行代数运算，得到一个参量的取值范围，然后将该取值范围在数轴上进行直观体现。而不同集合之间的交并问题反映到数轴上就是取值范围的相交或是包含关系，通过数轴就可以很简便地解出约束条件下的参数取值。

1.2利用韦恩法求解集合问题

韦恩法最主要是将题目给出的集合关系用Venn图表达，再根据图像列出参数方程，进而求解相关问题。

例1.已知一班学生总人数为52名，且每人至少要参加一项儿童节彩排活动，其中参加钢琴演奏、诗歌朗诵及儿童歌唱的人分别为30、26、17，同时参加钢琴和朗诵的人数有10人，同时参加钢琴和歌唱的有8人，同时参加诗歌和歌唱的有5人，试问三项均参加的人数为多少？

解析：先用圆A、B、C分别表示参加钢筋、诗歌及歌唱小组的人数，并用Venn图表示，则三圆的交集就是同时参加三项节目的人数。设n表示集合元素数目，由题意得：n（A）+n（B）+n（C）-n（AB）-n（AC）-n（BC）+n（ABC）=52，带入等式求得n（ABC）=2，即同时参加三项节目的人数有2人.

2.利用数形结合求函数极值

函数与图像联系最为紧密，借助图像函数性质是最为实用的解题方法之一。它从“形”的方面来刻画抽象的函数，形象表达函数的性质，为研究“量”提供直观表达，充分体现着数形结合的思想和特征。比如再对符合函数f（x）=min{y（x■），y（x■），y（x■）}进行最小值求解的情况，我们可以先把函数进行分段处理，然后将每一段的函数用图像呈现出来。如此一来就能很方便对函数每一区域进行直观的对比，判断在不同区域函数的极值，从而综合每一段的结果求出参量的最小值。

3.数形结合在方程中的应用

3.1利用函数图象求解不等式

函数方程用图象表达则为一条曲线或是多段线，而不等式有函数方程演化而来，在坐标系中则表示与函数图象相关的区域分布。高中数学重点讲解一元二次不等式的求解问题，而在二次不等式求解过程中，只要抓住对于函数图象的开口方向和x轴交点值，问题就迎刃而解。以一元二次不等式计算为例，我们知道一元二次函数图像与x轴的交点即为方程的根，那么当方程大于0时，自变量取值分布区域就应在图像的上方；而小于0则分布在图象下方。因此通過图像就能对方程进行变量分析和快速求解，简化数学的运算。

3.2利用函数图象求根的分布

对涉及到一元二次函数根的分布问题往往涉及的参数比较复杂，通过代数运算确定其范围往往比较抽象，如果能有效运用数形结合的思想，将函数问题化成几何运算，通过描绘的函数草图反过来再去感知函数的关系式和相关性质的正确性，则可相辅相成，不仅能让老师较为轻松地把概念知识传授给学生，学生在学习过程中也能够对知识点进行更为清晰直观的掌控，对提高学生思维和学习能力有很大帮助。

例2.已知方程a■x■+ax+1-2a■=0，求a的取值，使方程的两根均在（-1，1）内。

分析：显然a≠0，方程为一元二次等式，且函数图象y=a■x■+ax+1-a■开口向上，找出函数三个关键点及x=-b/2a、x=±1，要使抛物线与x轴的交点落在（-1，1）区间范围内，则要满足在x=-1/2a、x=±1三点的函数值的乘积为负，最终求得a的取值范围为-1

4.数形结合在解析几何中的应用

老师在讲解高中数学内容的时候，要重点对学生思维能力进行发散启迪，加强对数形结合能力的培养。如此一来，学生学习才不会生搬硬套，二是熟练理解题目的内涵及出题者想要传达的思想，以求一击突破。在解析几何部分则要求学生根据不同图象进行对于解析式的求解，还能够反过来有解析式画出对应图象，通过图形的性质和参数的量化关系，让学生能在两者中进行相互转变、相互启迪，形成自主的思考和解题能力。

例3.设双曲线x■/a■-y■/b■■=1（a>0，b>0）的右焦点为（1，0），过点F做x轴垂线交双曲线为B，C，过B，C分别做垂线交于D，若D到直线BC的距离小于a+■，求该双曲线的渐近线斜率取值区间。

解析：题目已知点坐标分别为A（a，0），B（c，b■/a），C（c，-b■/a），由双曲线的对称性可得D在x轴上。设D（x，0），由垂直条件得b■■/（ac-ax）·b■■/（a■-ac）=-1■，解得c-x=b■■/（a■c-a■）

总之，老师必须要有深厚的知识功底和熟练的基本技巧，在高中教学中不光要传授学生知识，更重要是讲授给学生思考和解题的能力。师者传道受业解惑过程中，要注重数形结合思想的渗透，对于问题要从多方面进行考虑和解答，要透过现象看本质，以经典例题为出发点揭示“数”与“形”的内在联系，用“数”准确澄清“形”，用“形”直观反应“数”，从而让学生体会到数学学习的精髓。

【参考文献】

[1]何凡.数形结合法在高中数学教学中的渗透[J].教育科学：引文版：00227-00227

[2]陈敏.高中数学课堂教学目标的“孵化”[J].教学与管理， 2012（22）：61-64