一道数列综合题的解法及变式探究

■江西省丰城中学 吴爱龙 刘卫琴

一道数列综合题的解法及变式探究

■江西省丰城中学 吴爱龙 刘卫琴

1.试题呈现

设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,已知a1=1,a2=,且当n≥2时, 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1。

(1)求a4的值;

(3)求数列{an}的通项公式。

这是一道求数列相关问题的综合试题,考查了转化化归思想与构造新数列的能力,是不可多得的好题。

2.解法剖析

这里对第一问、第三问不详解,主要谈第二问的几种解法。

数列{an·2n}是首项为2,公差为4的等差数列,即an·2n=4n-2,an=

这是处理在已知Sn条件下求an问题的一种常规解法。但由于递推关系式中含有数列{an}中相邻四项,需两次观察、构造才能做好,很多同学至此大都思路中断。我们不妨换个角度去思考,或许会“柳暗花明”。

上述解法可谓一气呵成,需要同学们通过认真观察、思考并根据系数特征才能想得出来。同学们平时学习中应注重基础,不可过分追求一些技巧性太强的解法。

解法3：因为n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,所以4(Sn+2-Sn+1)-5(Sn+1-Sn)=-Sn+1+Sn-1,4an+2-5an+1=-(an+1+an)。

则4an+2-4an+1=-an,下同解法1,过程略。

这种解法从本题的实际出发“量身定做”,既不落俗套,又淡化了“凑项”的技巧。关键的一步变形4(Sn+2-Sn+1)-5(Sn+1-Sn)=-(Sn+1-Sn-1)在情理之中。

由此可得以下解法。

解法4：因为n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,所以4(an+2+an+1+an+Sn-1)+5(an+Sn-1)=8(an+1+an+Sn-1)+Sn-1。

整理得4an+2-4an+1=-an。

下同,过程略。

上述解法简单至极,其之所以“简”,是因为能返璞归真,回归到最基本的关系式an=

3.变式拓广

下面将题目作些变式探究。

变式1：设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*。已知a1=1,a2=且当n≥2时,4Sn+3-12Sn+2+13Sn+1-6Sn+Sn-1=0,求数列{an}的通项公式。

解：当n≥2时,4Sn+3-12Sn+2+13Sn+1-6Sn+Sn-1=0,故:

4(an+3+an+2+an+1+an+Sn-1)-12(an+2+an+1+an+Sn-1)+13(an+1+an+Sn-1)-6(an+Sn-1)+Sn-1=0。

整理得:

4an+3-8an+2+5an+1-an=0。

变形得:

4an+3-4an+2+an+1=4an+2-4an+1+an。

4a4-4a3+a2=4a3-4a2+a1=0。

故4an+2-4an+1+an=0,n∈N*。

(责任编辑 徐利杰)