基于扩展有限元研究裂纹扩展过程

(四川大学建筑与环境学院 四川 成都 610065)

基于扩展有限元研究裂纹扩展过程

田何易曾祥国

(四川大学建筑与环境学院四川成都610065)

扩展有限元(extended finite element method,XFEM)在现代社会科学研究领域中扮演者重要的角色，对于求解不连续问题有着其独特的优势，相比传统有限元中的诸多限制，扩展有限元对于多元化问题同样得以解决。裂纹扩展过程考虑到其不稳定性和奇异性，采用扩展有限元可简化其计算难度，使结果更精确化，提高结果的可靠性。

扩展有限元；裂纹扩展；permix；位移偏移

一、引言

随着时代进步，对于各种事故的风险评估由最初的基本诱因(如环境、人员、技术制度等)渐渐发展至如今的精确原因分析，从宏观原因到微观原因是一个必然的趋势。因此，对于裂纹扩展过程务必有一个清晰的认识，进而达到延长结构寿命，降低人物损失的目的。故国内外学者对于裂纹扩展均进行了深入研究，在理论与实践方面均进行了大量的工作。如高阶扩展数值流形法[1]改进了传统的数值流形法[2]，更为准确地预测裂纹扩展方向，提出裂纹扩展过程中适用于大小变形的物理覆盖系统的更新算法。弹塑性疲劳中的裂纹扩展过程[3]模拟了裂纹扩展在弹塑性体中的扩展过程，验证了裂纹扩展过程中温度的变化亦可适用于裂纹扩展规律。单轴压缩下的裂纹扩展研究[4]。

因裂纹扩展过程中会涉及到断裂的问题，因此有限元的工作原理与特性决定了它将不再适用于裂纹扩展[5]。1999年美国西北大学Belytschko[6]基于有限元工作模式下求解不连续问题的扩展有限元法(extended finite element method，XFEM)。该方法的核心在于反应不连续跳跃函数及裂尖渐进位移场函数，通过独立于裂纹区的有限元网格(裂纹扩展亦不需重构网格)分析如裂纹、孔洞等不连续问题。

二、具例分析

(一)软件简介。Permix是一款采用先进的数值方法对相关问题进行模拟分析，适用于多尺度模拟的软件平台。其核心在于基于Fortran2003平台有限元的编译，利用其特有性能建造相关或开源或商业界面，以致完成诸如等式求解器、有限元部分、分子动力学部分等的任务。

本文以permix为基础平台，模拟了一侧预制裂纹的受拉壳模型，耦合了有限元与扩展有限元的问题，并随时间递增观察其裂纹扩展情况以及分析X，Y方向位移分布规律并计算了自裂纹开裂至停止期间的应力强度因子，观察其变化情况。

图1 模型与预制裂纹

(二)范例与分析。如图1，设一长为2m宽为1m的矩形薄壁板，并于一侧预制一条长为0.45m的裂纹(红色标出)，并标注裂纹左右两点A、B，以便之后对比分析，根据permix运行定则裂纹附近区域为XFEM分析区域，其他区域为FEM分析区域。现在右端作用一个除上下端点外值为900KN的均布作用力，上下两端则作用450KN的力，定义时间步长为70s前为10s，73-80s为1s，共作用80s，材料定义为弹性模量为200Mpa，泊松比为0.3的空材料。

0-30s过程为施力过程，在右侧施力未达到设定值之前裂纹均未出现扩展；73-80s为施力值达到设定值后裂纹出现向右扩展的现象。在裂纹初始端两边裂纹的间距最大，随着裂纹的扩展间距逐渐减小，最后至裂尖重合，裂纹在扩展开始时向右偏转，扩展有限元单元则随着裂纹的扩展而不断的进行调整。

同时，其X方向的位移云图如图2所示

图2 X方向的应力云图

Y方向的应力云图如图3：

图3 Y方向的位移云图

在X方向的位移云图中可以看出，0-30s阶段裂纹未出现扩展，但裂纹右侧已经出现了少量的X方向的偏移，73-80s阶段裂纹明显向右扩展且自裂纹起始端开始直至最右施力处，X方向位移呈现出随Y方向坐标的阶梯状增长，在最右施力端达到最大值。

同样，在Y方向的位移云图中，0-30s依然保持稳定不增长状态，73-80s阶段则跟X方向位移云图类似，出现随X方向坐标的阶梯状增长。

现对裂尖位移进行分析，根据裂尖扩展方向，得到其裂尖位移图4：

图4 裂尖位移图

同时根据裂尖位移图得出裂尖速度图：

图5 裂尖速度图

根据图5，由于73s以前裂纹未扩展，即位移为零，故不纳入探讨范围。自73s开始，裂纹出现扩展，裂尖X，Y方向均出现位移，并于79s时停止。X，Y方向速度均随时间处于递增状态，两个方向速度处于较均匀递增，且Y方向的速度增速高于X方向，故两方向速度虽时间增加越来越接近。

三、结论

(1)对于求解裂纹问题扩展有限元法比有限元法更能适应于跟踪研究裂纹面，简化了裂纹尖端附近网格过密的问题[7]，因其网格独立特性，对于复杂裂纹、计算效率及精度以及J积分计算等方面均有其不可替代的优势。

(2)根据算例表明，裂纹扩展与作用力的大小和方向有直接关系[8]，裂纹的作用力一侧当裂纹扩展时会出现明显的偏移且速率亦逐渐增加，而裂纹另一侧当裂纹扩展时则几乎没有发生偏移现象。

(3)对于裂纹未开始扩展时施加作用力出现的位移增量，认为是材料受力的弹性增量。

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[8]杨珺.平面裂纹扩展分析的扩展有限元法[D].南京航空航天大学,2007.

StudyonProcessofCrackPropagationBasedonXFEM

TIANHe-yi，ZengXiang-guo

(SichuanUniversity，Sichuan，610065)

XFEM;crack propagation;permix;displacement deviation

Abstruct:XFEM(extended finite element method)counts a lot in modern social science.Comparing the stereotype of traditional FEM(finite element method),XFEM can fix discontinuous and diversified problem.Crack propagation,considering its instability and singularity,should be solved by XFEM to simplify related problems to precise result.

田何易(1992-)，男，汉族，四川人，在读研究生，四川大学建筑与环境学院，工程力学；曾祥国(1960-)，男，汉族，教授，四川大学建筑与环境学院，研究方向计算固体力学。