数学中的“合分割补”思想

韦有礼

摘要 “合分割补”思想是整个中学阶段中一个非常重要的思想，它在代数和几何方面应用广泛，这四个字中“合”即为“合并”之意，“分”即为“分开”、“拆开”之意，“割”与“补”是相互的。本文通过撷取教学过程中的几个例子来展现这种思想，帮助学生能够有所启发，培养学生学习数学的积极性。

关键词：合分割补，数列，函数，不等式

一、在数列中应用

例：写出下列数列通项公式

分析：求数列的通项公式要寻找项与序号之间的关系。第一个数列可看出 是1 个-1， 是2个-1 相乘， 是3个-1相乘，因此 。再来

求第二个，第二个与第一个数列有没有一点关系呢？这是一个摆动的数列，它能否转化成第一个数列呢？此时就需要利用割补法去求

了，由于3與5的中间数是4，这里如果每一项都割掉中间数 的话，那么这个数列就变成 它和第一个数列是一样的，这样就可以写出通项公式，并补上割掉的数，即 。类似地，第三个数列也要割掉中间数 ，但此时变成 ，而这个数列恰好是第一个数列的1.5倍，因此数列的通项公式为 。

二、在函数中的运用

我们在小学学习分数的运算法则时，有这样一条：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。这条性质的逆向用代数式表示为：

，虽然等式很明显，但却蕴含着非常重要的合分思想。

例：求下列函数的值域

分析：这三个函数都是分式函数，不是熟悉的初等函数，但都可利用

这条性质将其拆分为熟悉的初等函数。如第一个函数可化为

，

那么当 时， ，从而第一个函数值域为（2，3）。第二个函数当 时，容易得到

从而函数值域为 。第三个函数在分解时候较为复杂，在这里采用整体思想，即把分母 看做一个整体，分子部分用这个整体来表示，则

由于 项展开比 项多出了 ，所以要减去这部分，实际上这里还是利用割补的思想，当然在这里有一个更形象的表述为：“有借有还”思想，即 “借”了 项变为（X+1），然后又“还”出即减去 项，使式子保持等价变形，而后边的一次项及常数项也可用分母来表示，这样处理的目的就是为了“凑”出和分母一样的式子，再利用分数运算性质将其拆开：

由于 ，由基本不等式可得

，

所以函数的值域为 。

畅销书籍《怎样解题》中，波利亚提出在解题过程中要将不熟悉的条件转化为熟悉的条件。以上求函数值域的问题，充分利用了合分割补的思想，把不熟悉的函数转化为熟悉的函数，这样问题就会变得更加简单

三、在一些代数式的变形中的运用

一些代数式的变形也涉及到这种思想，比如下面例题

例、因式分解

分析：为了分解这三个代数式，我们先令它们都等于零看做一个方程，比如第（1）个为 ，

观察很容易发现 是方程的一个根，那么这个式子必有一个

因式 ，所以 ，

这里为什么 项后边减去 这一项呢？实际上是为了把最高次 项分解出 这个因式，那么剩下的部分也一定能分解出 因式。这个过程形象地比喻为：有一堆糖果，其数量是多少不确定，只知道是5的倍数，现在从中取出10块糖果（即取出数量是5的倍数），则剩下部分一定是5的倍数。第（2）个式子，通过试根可以看出 时， ，故有

第三个方程 试根发现 时满足，类比上述过程原式可化为：

例2、证明：命题“如果一个三位数能够被3 整除，那么这个三位数字之和也能被三整除”是真命题。

分析：假设 是三位数 ，由于实数是十进制的，因此这个数也可以写成 ，现在问题转化为 这个数能够被3整除，利用合分割补思想我们可以把这个式子分离出一个 ，此时变为 ，由于上式中第一个括号里的数可以被3整除，因此要使 能够被3整除，则 一定能够被3整除。

以上只是笔者从三个方面来简单介绍合分割补思想的运用，当然还有很多的地方都利用到此思想，在此就不再一一介绍，合分割补思想是中学里边非常重要的思想，我们在平时教学中要讲解好这种思想，提高学生数学思维能力。