等差数列的一个性质及其推论

陕西 李 歆

等差数列的一个性质及其推论

陕西 李 歆

数学是一门融知识性、思想性和方法性于一体的重要学科，其中一些基本的概念、公式、定理往往蕴涵着极其丰富的价值，只要同学们在学习中，善于思考，勤于探究，那么常常可以发现许多有意义的东西，从而不断开阔同学们的知识视野，提高解题效率.如：同学们学习了等差数列的前n项和公式之后,会有什么发现呢？下面,介绍等差数列的一个有趣性质及其两个简单推论，以帮助同学们更进一步的理解并掌握等差数列的有关知识.

一、性质及其推论

1.一个性质

性质设{an}为等差数列,Sm,Sn,Sk分别为前m项、n项和k项的和,则有

证明:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由前n项和公式,得

所以,可得

=0.

2.两个推论

推论1设{an}为等差数列,Sm,Sn分别为前m项、n项的和,则当m≠n时,有

证明：在公式①中，取k=m+n，整理即得公式②.

推论2设{an}为等差数列,Sm,Sn,Sk,St分别为前m项、n项、k项和t项的和,且m+n=k+t,则当m≠n,k≠t时，有

因为m+n=k+t，

所以Sm+n=Sk+t，

整理即得公式③.

【评注】公式②和公式③也可以分别利用等差数列的通项公式以及前n项和公式得到，因此，公式①、公式②、公式③可以各自独立，也可以相互联系，这三个公式结构特点明显，规律性很强，便于记忆.

二、应用

1.公式①的应用

【例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=4，S6=12，则S20等于

( )

A.60 B.120

C.180 D.240

【变式1】设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=3，S9=9，则S16=

( )

A.12 B.14

C.-12 D.-14

【答案】C

【变式2】已知{an}是等差数列，a1+a2=4，S6=36，则S10等于

( )

A.64 B.100

C.110 D.120

【答案】B

( )

( )

【答案】C

( )

【答案】B

【评注】用公式①解题时，要特别注意每个分式项前面的系数中各个字母差的排序，否则容易出错.

2.公式②的应用

【例3】若等差数列的前p项的和等于q,前q项的和等于p(p≠q),则前p+q项的和等于

( )

A.p+qB.p-q

C.-p+qD.-p-q

【变式1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S2n等于

( )

【答案】C

【变式2】等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1，a3=3，则S4=

( )

A.6 B.8

C.10 D.12

【答案】B

【例4】设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3+a4=1，S9=-9，则S15=

( )

A.30 B.-30

C.60 D.-60

【变式1】已知等差数列{an}满足a2+a5=7，则它的前6项的和S6=

( )

A.7 B.14

C.21 D.28

【答案】C

【变式2】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9，S6=36，则a6+a7=

( )

A.24 B.48

C.72 D.96

【答案】A

【评注】对于等差数列中同时出现“项”与“和”的问题时，注意到它们下标之间的关系，则用公式②求解，较为方便.

3.公式③的应用

( )

A.1 B.2

C.3 D.4

【变式1】已知{an}为等差数列，a1=1，S5-S2=6，则S6=

( )

A.9 B.10

C.11 D.12

【答案】C

【变式2】已知{an}为等差数列，a3+a4=8，则S5-S1=

( )

A.8 B.16

C.24 D.32

【答案】B

( )

( )

A.1 B.2

【答案】A

( )

A.1 B.2

C.3 D.4

【答案】C

【评注】在应用公式③时，要密切注意公式左边的分子与分母中两项下标的和必须相等，而右边的分子与分母则是左边对应下标的差，这两点不可混淆.

陕西省武功县教育局教研室)