新课标下的概率统计考点分析与命题规律

江苏 宋卫东

新课标下的概率统计考点分析与命题规律

江苏 宋卫东

新课标指出，中国学生在数学学习中应培养数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养，它是每一名学生获得成功生活、适应个人终生发展和社会发展都不可或缺的共同素养.在概率统计部分中，频率分布直方图是其中重要的考点，频率分布直方图作为一种提供背景材料的很好载体和工具，被称为考查简单数据处理能力的重要载体，因此备受高考命题者的青睐，仔细分析近年来，尤其是近几年的高考试卷会发现，频率分布直方图、茎叶图等图表问题成为仅次于数学文化素养考查的热点题型.

一、高考对频率直方图性质特征的考查

1. 频率分布直方图的纵坐标

【例1】(2016·山东理)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

( )

A.56 B.60 C.120 D.140

【解析】自习不少于22.5小时是后三组，200×(0.16+0.08+0.04)×2.5=140，故选D.

2.画频率分布直方图

【例2】(2014·广东理·第17题)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

分组频数频率[25，30]30．12(30，35]50．20(35，40]80．32(40，45]n1f1(45，50]n2f2

(Ⅰ)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值；

(Ⅱ)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(Ⅲ)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.

(Ⅱ)样本频率分布直方图如下：

(Ⅲ)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.2，

设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)，

P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-0.2)4=1-0.409 6=0.590 4，

所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为0.590 4.

3.利用组中值代表区间内的数值

【例3】(2014·全国新课标Ⅰ理)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

点评：组中值是上下限之间的中点数值，以代表各组标志值的一般水平.组中值并不是各组标志值的平均数，各组标志值的平均数在统计分组后很难计算出来，就常以组中值近似代替.由频率分布直方图可估计样本特征数，如众数、中位数、均值、方差.若同一组数据用该组区间中点代表，则众数为最高矩形的中点横坐标，中位数为左边和右边的小长方形的面积和是相等的点，均值为每个矩形的中点横坐标与该矩形面积的累加值，方差是矩形的横坐标与均值的差的平方的加权平均值.

4.柱状图与直方图的区别

【例4】(2016·全国新课标Ⅰ理)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值.

【解析】(Ⅰ)先确定X取值分别为16,17,18,19,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列：

X16171819202122P0．040．160．240．240．200．080．04

(Ⅱ)P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68，满足P(X≤n)≥0.5的n的最小值是19.

点评：柱状图是一种以长方形的长度为变量的表达图形的统计报告图，由一系列高度不等的纵向条纹表示数据分布的情况，用来比较两个或以上的价值(不同时间或者不同条件)，只有一个变量，通常用于较小的数据集分析.

二、高考对频率直方图在实际生活中的应用的考查

1.用样本频率分布估计总体频数

【例5】(2013·福建理)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为

( )

A.588 B.480

C.450 D.120

【解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005+0.015)×10=0.2,故估计不少于60分的学生人数为600×(1-0.2)=480.故选B.

点评：在频率分布直方图中，每个小矩形面积就是相应的频率或概率，频率×样本容量=频数，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键.

2.用样本频率估计概率

【例6】(2014·辽宁理)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(Ⅰ)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

(Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X).

【解析】(Ⅰ)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出P(A1)=0.6，P(A2)=0.15，利用事件的独立性即可求出P(B)=0.108.

(Ⅱ)由题意可知X～B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D(X)的值.因为X～B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.

点评：每个区间内的频率就是本区间内所有个体个数与样本容量的比值，这与古典概型概率计算原理是一致的，因此可以把频率近似地看作概率.

3.用每组样本频率估计权重

【例7】(2016·北京文)某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

(Ⅰ)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

【解析】(Ⅰ)由图可知，用水量不超过2立方米的频率是(0.2+0.3+0.4)×0.5=0.45，

用水量不超过3立方米的频率是(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)×0.5=1.7×0.5=0.85.

显然为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.

(Ⅱ)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

组号12345678分组[2，4](4，6](6，8](8，10](10，12](12，17](17，22](22，27]频率0．10．150．20．250．150．050．050．05

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为

4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).

点评：频率分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观，频率分布表中的频数之和等于样本容量.居民该月的人均水费，也就是总水费除以样本容量10 000，其中计算总水费可以一人一人地加起来，也可以对落在每个区间内的人数乘以相应的水费，再加起来，而后者再分别除以样本容量之后，实际上频率就成了每个水费数据的权重，这就是一种简便计算.

4.用左右频率的和相等的点估计中位数

【例8】(2016·四川文)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)， [0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求直方图中的a值；

(Ⅱ)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由；

(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数.

【解析】(Ⅰ)由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.

(Ⅱ)100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.

(Ⅲ)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73gt;0.5，

而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48lt;0.5,

所以2≤xlt;2.5.由0.50×(x-2)=0.5-0.48，解得x=2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.

点评：在一般问题中，中位数就是将所有数据按照从小到大顺序排列，位于最中间的数据或者相邻两个数据的均值，本题因为前5组的频率之和为0.73gt;0.5，而前4组的频率之和为0.48lt;0.5，所以中位数应该在第5组内，所以 2≤xlt;2.5，中位数x到2之间的频率等于0.5(x-2)，也等于0.5-0.48，因此x=2.04.可见探求中位数的本质也是探究频率恰为0.5时相应的用水量.

【变式】若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.

【解析】因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73lt;0.85，

而前6组的频率之和为0.73+0.30×0.5=0.88gt;0.85,

所以2.5≤xlt;3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73，解得x=2.9.

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.

三、借助频率直方图高考对数理分析能力的考查

1.柱状图可以用分段函数表达

【例9】(2016·全国新课标Ⅰ文)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元),n表示购机的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式；

(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；

(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

【解析】(Ⅰ)因为购机的同时购买的易损零件数为19，

所以当x≤19时,y=3 800;

当xgt;19时，y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.

(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元.

比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

点评：柱状图本身不连续，图形只有高度没有宽度，它的高就是频数.柱状图在本题中起到了提供数据的作用，并且更为直观形象.

2.频率直方图可用分段函数表达

【例10】(2013·全国新课标Ⅱ文·第19题)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(Ⅰ)将T表示为X的函数；

(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.

【解析】(Ⅰ)当X∈[100,130)时，T=500X-300(130-X)=800X-39 000；

当X∈[130,150]时，T=500×130=65 000，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

点评：频率分布直方图所研究的数据是分区存放的，在该区内的数据都满足同样函数关系，因此频率分布直方图也可以用分段函数表达.此外频率分布直方图可以很好地反应数据分布规律服从正态分布，2014全国新课标Ⅰ理第18题就考查过该种问题.

江苏省赣榆县教育局教研室)