流体问题研究对象的选取方法

北京 公衍录(特级教师)

化无形为有形，化无限为有限。

流体问题研究对象的选取方法

解决流体与其他物体作用问题的关键是如何选取研究对象，通常沿流体的流动方向、选取正在与其他物体作用的一段流体(圆柱体)，作为研究对象。下面按流体的运动情况分为流体做匀速运动、流体做变速运动两种情况分析。

一、流体做匀速运动

通常选取正在与其他物体作用的一段流体作为研究对象。该段流体可长可短，作用时间可长可短。

【例1】水力采煤是利用从高压水枪喷出来的强力水柱冲击煤层而使煤层破裂。设所用水枪的出水口横截面积为S，水以大小为v、方向水平的速度射出，水的密度为ρ，射到煤层上后，水的速度变为零，求水对煤层的作用力大小。

【解析】选在时间t内与煤层作用的水柱(圆柱体)为研究对象，其长度为vt，横截面积S，体积V=Svt，质量m=ρV=ρSvt。这部分水柱经与煤层作用，其动量在时间t内由mv变为零，设煤层对水的作用力大小为F，选作用前水速方向为正方向，在水平方向上对该水柱应用动量定理得：-Ft=0-mv。联立解出F=ρSv2，根据牛顿第三定律，水对煤层的作用力大小也为F=ρSv2。

二、流体做变速运动

求变速运动的流体与其他物体的相互作用力时，通常采用微元法，选取与其他物体正在作用的一段微小长度流体(圆柱体)作为研究对象。

【例2】(2016•全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出，玩具底部为平板(面积略大于S)。水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：

(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；

(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

【解析】(1)在一段时间Δt内，从喷口喷出水的长度：

Δl=v0·Δt①

喷出水的质量：Δm=ρ·ΔV②

其中ΔV为水的体积，满足：ΔV=Δl·S③

由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为

图1

(2)设玩具底面相对于喷口的高度为h，玩具底部的水对其冲击力为F冲，如图1，做出玩具的受力图，由玩具受力平衡得：

F冲=Mg④

设玩具对其下面水的压力为F压，由牛顿第三定律：F压=F冲⑤

设v′为水到达玩具底部时的速度，由运动学公式：

把t～t+Δt时间内冲击玩具的水，作为研究对象，其质量为Δm，则Δm=ρ·v0·S·Δt⑦

由于水在空中做匀减速运动，故在t时刻该水柱各部分的速度不同——接触玩具底面水的速度为v＇，该水柱从下往上、速度依次减少。但当Δt趋近于零时，t时刻该水柱各部分的速度均可近似认为是v＇，到t+Δt时刻为止，该水柱各部分的速度均已变为零。由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱应用动量定理得：

(F压+Δmg)·Δt=Δm·v′-0 ⑧

当Δt趋近于零时，ΔmgΔt也可以忽略

故⑧式变为F压·Δt=Δm·v′ ⑨

图2

【例3】自动称米机已被广泛使用。如图2所示，称米时，打开阀门，米粒就以每秒钟d千克的恒定流量流进放在秤上的容器。当秤的示数达到顾客所要求的数量时，在出口处关闭阀门，切断米流。米流在出口处速度很小，可视为零。对上述现象，买卖双方引起了争论。买方认为：因为米流落到容器中时有向下的冲力而不划算；卖方则认为：当达到顾客所要求的数量时，切断米流，此时尚有一些米在空中，这些米是多给买方的。请谈谈你的看法，并根据所学的知识给出合理的解释。