空间轨迹问题的一点研究

2017-12-12 18:25谢炳剑
读写算·教研版 2017年4期
关键词:抛物线定点本题

谢炳剑

中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2017)04-069-01

平面解析几何和立体几何都是高中数学的重点内容。平面解析几何的本质是用代数方法研究平面几何图形的几何性质;而立体几何更多的是研究空间中点、线、面的位置关系及其性质。对于这两几何内容的学习研究,并将其内容加以综合运用,就会产生一类空间中动点的轨迹问题,这类问题也是两种几何问题一个完美结合的例子。以立体图形为载体的轨迹问题,将立体几何和解析几何巧妙地整合在一起,立意新颖,综合性强,是新课程高考命题的一大趋势。解答这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题,一般可从两个方面考虑:一是利用曲线的定义,二是用解析法求出轨迹方程。

例1. 已知平面 平面 ,直线 ,点 ,平面 、 间的距离为4,则在 内到点P的距离为5且到直线 的距离为 的点的轨迹是( )

A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点D. 两个点

简析:如图1,设点P在平面 内的射影是O,则OP是 、 的公垂线,OP=4。在 内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3,可知所求点的轨迹是 内在以O为圆心,3为半径的圆上。又在 内到直线 的距离等于 的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点O的距离都等于 ,所以直线m、n与这个圆均相交,共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点,故选C。

点评:本题以空间直线与平面的位置关系为依据,研究平面解析几何的点的轨迹问题,立意新颖,构思巧妙,是深入考查学生思维能力的上乘之作。

例2. 在四棱锥 中, 面PAB, 面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6, ,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是( )

A. 圆 B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一部分

点评:根据题目的信息,利用空间几何性质,把立体几何问题转化到平面上,再利用解析几何的方法探求轨迹是本题的闪光之处。

例3. 如图2,定点A和B都在平面 内,定点P C是 内异于A和B的动点。且 ,那么动点C在平面 内的轨迹是( )

A. 一条线段,但要去掉两个点B. 一个圆,但要去掉两个点C. 一个椭圆,但要去掉两个点D. 半圆,但要去掉两个点

简析:因为 ,且PC在 内的射影为BC,所以 ,即 。所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点,故选B。

点评:本题主要考查圆、线面垂直的基本知识,利用线面垂直的条件,将空间问题转化到平面上的圆的问题。

例4. 如图3,在正方体 中,P是侧面 内一动点,若P到直线BC与直线 的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( )

A. 直线B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线

简析:因为P到 的距离即为P到 的距离,所以在面 内,P到定点 的距离与P到定直线BC的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线,故选D。

点评:本题以立体几何知识为载体,考查了圆锥曲线的概念等基础知识,将抛物线的动态定义寓于正方体之中,体现了知识间的内在联系和整合应用。

问题反思:从解决问题过程中可以发现,解决几何问题的一般方法无外乎是将几何问题平面化,将平面几何问题解析化(代数化),最終运用解析几何中求轨迹方程的常用方法求出动点的轨迹方程。endprint

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