合情开展数学探究式教学的两个主要途径

余明芳 王钦敏

（福建教育学院数学教研室，福建 福州 350025）

合情开展数学探究式教学的两个主要途径

余明芳 王钦敏

（福建教育学院数学教研室，福建 福州 350025）

调研访谈表明，当前大部分中小学生，对数学探究的策略与方法尚缺乏了解，教师因课堂教学用时紧张，也很难给学生腾出足够的思考时间，面对这样的学情与教情，合情开展数学探究式教学的两个主要途径是：在日常教学中进行探究示范，让学生掌握数学探究与发现的策略与方法；在学生自主探究过程中适时指导，并使其可延伸为课后自觉主动的探索。

探究与发现；探究示范教学；自主探究；适时指导

探究与发现能力是人类创新智慧的核心要素，有策略地逐步培养学生数学探究与发现的能力，是中小学数学教学的一个重要任务。对此，荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾极力强调，数学教育应是引导学生重复人类数学发现的过程，是一种有指导的再创造，所有的数学教学活动都应让学生根据自己的建构与自由发挥，发现并提出各种数学问题。［1］然而，在我们的调研访谈中，很多教师认为，数学中的许多知识，在历史上都有一个漫长的被发现的过程，虽然可以由教师在短时间内讲完，却很难由学生通过自主探究予以重新发现，即使能够，也要占用大量教学时间，开展探究式教学培养学生的数学探究与发现能力，不仅在实施方面有很大困难，而且缺乏效益，不适合各类测试需求。［2］详细剖析这一说法，不难看出，我们对“探究式教学”这个概念仍存在很深的误解。事实上，让学生进行自主探究只是开展探究式教学的方式之一，笔者认为，需要更多地沿着以下两个途径，方可切合中小学数学教学实情，更有意义更有效益地开展探究式教学。

一、在日常教学中进行探究示范，让学生掌握数学探究与发现的策略与方法

通常，探究式教学被认为是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法。笔者认为，这一定义是更多地关注了“探究式地学”的一面，而大大忽略了“探究式地教”的一面，以之为出发点实施探究式教学，教学过程就难免会以学生个人探究为主，让许多长年受教于“听讲”教学模式下的学生无法适应。教学试验表明，开展以学生个人探究为主的教学，大都须在学生已掌握了许多进行数学探究的策略与方法的前提下进行，因而，需要教师在日常教学中进行大量的探究示范。

教师“探究式地教”即在课堂进行探究示范教学，是探究式教学这一概念的重要内涵，也是培养学生数学探究与发现能力的必要方式与“重头戏”。通过探究示范教学，教师将个人进行数学探究与发现的创新思维活动融入课堂，以实验、归纳、类比、运算与演绎等方式真实呈现数学创造的整个过程，可以让学生理解并掌握数学探究与发现的策略与方法，逐步形成个人进行自主探究的思维习惯与能力。［3］与通常的解题教学相比，探究示范教学可以让学生更有机会运用直觉思维通过归纳与类比等推理对问题结论进行猜想，因而可以更好地培养学生的数学发现能力。

在数学教学中，要将一个新知识牢固地栽植到学生已有的认知系统中，大都需要教师通过“探究式地教”以引导学生发现新旧知识间的各种联系。只有学生比较完整地认识了知识间的联系，才能整体把握知识的系统结构，并从知识系统的整体角度理解各个知识的地位与作用。由于教材大多是按知识的纵向关系单向编排的，许多知识间的联系只有在复习教学中才适合被揭示，因而，复习教学时开展专题探究，对促进学生关于数学知识的“关系性理解”与“结构性理解”具有重要作用。［4］例如，在高三数学“点到直线的距离公式”复习教学中，关于公式的结论与应用是属于记忆和解题程序操作的“工具性理解”层面，已非高三复习教学要点，教师备课时应考虑到此公式证法繁多，而学生在之前学习中却只略知一二，如果对公式的推导展开探究示范教学,可以培养学生的探究与发现能力,也可以培养学生的分析与解决问题的能力，同时，还可以让学生认识到许多知识间的内在联系，因此，将“点到直线的距离公式推导”拟为教师探究示范或学生自主探究的专题都是一个比较合理的思路。

在教学导入时，教师可提出问题：坐标平面xOy中，当直线l：Ax+By+C=0不与坐标轴平行时，如何求出点 P（x0，y0）到直线l的距离？首轮复习中，学生虽已不太记得教材相关内容，但大都能通过分析拟出第一个计划：在右图中作点P到直线l的垂线段PQ，写出直线 PQ的方程并将它与直线l的方程联立，求得点Q坐标，再以两点间距离公式求得 P Q 。如果学生运算时频频出错，就需要教师进行示范教学板演运算过程，然后在得到结论后指出：“这是一个常规思路，但其中的方程组求解与两点间距离公式让运算变得比较复杂。有什么方法可以让我们绕过复杂的计算？”如果学生良久无语，就需要教师进一步启发：“在坐标平面上，若两点连线与坐标轴平行，两点间距离公式可简化，那么，能否像物理中对物体进行受力分析一样，将线段PQ拆解为水平与竖直两个方向上的线段呢？”如果学生仍束手无策，就还需要教师对以下过程进行探究示范教学：过点P作两坐标轴的平行线，分别交直线l于点M、N，求出它们的坐标以及 PM、P N 的表达式，然后在Rt△MPN中以面积法求得 P Q 。

以上两种方法是分别将问题置于直线方程、直角三角形的知识系统进行思考，从问题与系统知识的联系中找到解题思路，其遵循了数学探究策略的系统原则，其中第二个方法为避开繁杂计算采用了化斜为直的思路，则反映了数学探究策略的多变原则。向学生指出这两个常用探究策略原则后，教师可继续让学生搜寻与问题有关联的知识，看还可以将问题置于哪些知识系统中进行思考。

学生可能由图中的线段MP与PQ分别是直角三角形的斜边与直角边，联想到三角函数公式，将问题置于三角函数的知识系统进行思考：设直线l的倾斜角为 α，由 tan2∠MPQ=tan2α 求出 cos∠MPQ，然后由PM 的表达式求出 PQ ；也可能将问题置于向量的知识系统进行思考：设点Q（x,y）是直线l上任一点，故所求的点P到直线l的距离，即为向量 P→Q在直线l的一个法向量→n=（A，B）上的投影，可应用公式求出 PQ 。

二、在学生自主探究过程中适时指导，并使其可延伸为课后自觉主动的探索

“教是为了不教”，教师在日常教学中进行大量的探究示范，是为了让学生掌握数学探究与发现的策略与方法，让学生自主探究与发现的能力。在数学课堂上，教师的探究示范与学生的自主探究往往是相互交织、相互促进的一个统一过程，教师探究示范与学生自主探究的用时占比应视学情而定：在探究示范教学中，需要教师腾出让学生对问题进行审视和思考的时间，并在学生可自行探究时给学生自主探究的机会；在学生自主探究中，也需要教师对少部分有思维障碍的学生进行个别指导，或在大部分学生茫然相向一筹莫展时给予启发、点拨，甚至进行细致的探究示范教学。

这也就意味着，如果一个学生尚无自主探究的经历,他最需要的是在教师的探究示范教学中先了解一些数学探究的策略与方法，然后在有教师指导下的探究中，或在有同学合作的探究中获得一些活动经验，伴随着独立思考习惯和探索进取精神的日渐养成，自主探究与发现的能力才得以逐步提高。当学生的自主探究无法进一步深入时，需要教师适时点拨，给学生一些提示，如上述的复习教学中，学生已难以继续联想，难以找到与问题相联系的知识，教师可给出如下提示：“设点 Q（x，y）为直线 l上的任一点，其与点 P距离的最小值就是点P到直线l的距离”，这个提示点开了新思路，能引导一些学生从与前面获得的公式分母 A2+B2联想到柯西不等式，由（A2+B2）［（x-x0）2+（y-y0）2］≥［A（x-x0）+B（y-y0）］2证得结论。

当学生的自主探究思路遇到障碍无法实现时，也需要教师适时启发，给学生一些建议，如在上述应用柯西不等式时，若有学生不熟悉该公式内容，教师可建议学生证明它，或将（A2+B2）［（x-x0）2+（y-y0）2］拆为A2（x-x0）2+B2（y-y0）2+A2（y-y0）2+B2（x-x0）2，再配方化为［A（x-x0）+B（y-y0）］2+［A（y-y0）+B（x-x0）］2，让学生仍可与使用柯西不等式一样从（A2+B2）［（x-x0）2+（yy0）2］≥［A（x-x0）+B（y-y0）］2证得结论。

中小学生在课外进行的数学学习，通常以预习、复习和完成习题作业为主，对数学自主探究与发现能力的培养具有一定作用，但如果教师能从课堂探究的问题中选择若干引申问题留待学生课后进一步思考，就会对学生自主探究与发现能力的提高产生更大作用。为了能让课堂探究延伸为课后学生自觉主动的探索，所选引申问题除了应围绕教学主题，有助于新旧知识联系的沟通与知识体系的构建之外，还应对学生思维具有一定挑战性，能激活好奇心激起认知冲突，使学生对问题具有较强的探究愿望。［4］例如，在点到直线的距离公式复习课中，对推导问题感兴趣的学生就有可能在课后继续思考，由问题中的距离联想到直线参数方程中参数t的几何意义，得到新的证法：将过点P（x0，y0）的某一直线参数标准方程代入直线 的方程，求出t的表达式，然后应用公式 -Acosθ-Bsinθ≤获得结论。［5］

由以上分析可知，在实际教学中，教师应充分关注学情，不应形式化地执意主体生成而忽视示范讲授，甚至排斥点拨启发。探究示范教学除了能让学生掌握探究的策略与方法，也能使新知识自然融入学生已学知识体系，且能更完整地展现数学的魅力，而学生自主探究中教师的点拨与启发有助于激发学生的灵感与顿悟，让学生更深入地思考，二者均能促进学生关于数学知识的“关系性理解”进程，提高学生的数学探究与发现能力，让学生学得主动而扎实，学得更有意义。［6］

三、结语

在中小学数学教学中，学生“学不入迷”“懂而不会”与“认识低下”是三个普遍存在的现象，笔者认为，“照本宣科”式教学、“热冷饭”式复习与不断重复的题型训练使得教无创意、学无新意，是教学方面引发三个现象产生的主要原因，［7］而立足教材选择探究式教学课题，立足学情开展教师探究示范与学生自主探究教学，［5］则是抑制和消除三个现象的主要对策，这是因为，探究式教学不仅可以培养中小学生数学探究与发现的能力，而且可以让学生在潜心思考后产生的灵感与顿悟中感受数学美，［8］更全面地认识知识间的联系，形成结构化的知识体系，深刻领悟数学的思维策略智慧，提高解决数学综合问题与开放性问题的能力［9］，提升关于数学思想与数学精神的认识领悟水平。

［1］弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.上海：上海教育出版社，1995.

［2］王钦敏.高中数学教师专业素养现状的调查与分析［J］.福建教育学院学报，2012（5）.

［3］王钦敏，余明芳.高中数学骨干教师培训课程设置的目标与途径［J］.中小学教师培训，2016（11）.

［4］余明芳，王钦敏.例谈数学探究课题的选择与教学设计［J］.数学通报，2015（11）.

［5］王钦敏.教材边上好数学［M］.福州：福建人民出版社，2014.

［6］李子建，尹弘飚.课堂环境对香港学生自主学习的影响［J］.北京大学教育评论，2010（1）.

［7］王钦敏.如何对数学教材进行有益的拓展与改造［J］.数学通报，2013（1）.

［8］王钦敏.感受数学美的两个重要途径［J］.数学教育学报，2014（2）.

［9］张远增，倪明，任升录.对数学开放性问题的几点认识［J］.数学教育学报，2000（4）.

G633.6

A

1673-9884（2017）11-0051-03

2017-10-12

2016年度福建省教育科学“十三五”规划重点课题（FJJKCGZ16-177）

余明芳，女，福建教育学院中学高级教师。