例说数形结合思想

魏兰

解析几何中的数形结合

1. 与斜率有关的问题

例1 如果实数[x，y]满足等式[x2+y2-4x+1=0]，那么[yx]的最大值为（ ）

A. [12] B. [33] C. [32] D. [3]

解析 初看此题，形式上是一道代数题，对关系式[x2+y2-4x+1=0]化简，很自然地与圆的方程联系起来，而[yx]恰为点[P][（x，y）]与原点连线的斜率，这便把问题与“形”结合起来，转化为如下的几何问题：动点[P]（[x，y]）在圆[C]上运动，求直线[OP]的斜率的最大值.

观察图形易得，当[P]在第一象限，并且[OP]与圆[C]相切时，[OP]的斜率最大，这时，[PC⊥OP].

于是[tan∠POC=PCOP][=34-3=3]，即[OP]的斜率的最大值为[3].

点评 在一些分子、分母都是三角函数或一次函数的代数式中，要求其值域，很多都转化为经过两点的直线斜率公式[k=y1-y2x1-x2]来求解.

2. 与截距有关的问题

例3 已知[x，y]满足[x216+y225=1]，求[y-3x]的最大值和最小值.

解析 对于二元函数[y-3x]在限定条件[x216+y225=1]下求最值的问题，常采用构造直线的截距的方法来求.

令[y-3x=b]，则[y=3x+b]在[y]轴上的截距最大或最小值即为所求.

由图形知，当直线[y=3x+b]与椭圆[x216+y225=1]相切时，有最大截距和最小截距.

[y=3x+b，x216+y225=1?169x2+96bx+16b2-400=0.]

[由Δ=0得，b=±13.]

[故y-3x的最大值为13，]最小值为-13.

点评 二元函数[ax+by]在限定条件下求最值的问题可采用构造直线求截距的方法来解决.

3. 与距离有关的问题

例3 已知双曲线[Γ：y2a2-x2b2=1（a>b>0）]的上焦点为[F（0，c）（x>0）]，[M]是双曲线下支上的一点，线段[MF]与圆[x2+y2-2c3y+a29=0]相切 于点[D]，且[MF=3DF]，则双曲线[Γ]的渐进线方程为（ ）

A. [4x±y=0]

B. [x±4y=0]

C. [2x±y=0]

D. [x±2y=0]

解析 将圆的方程化简[x2+（y-c3）2=b29]，作出图形，圆心[C]到上焦点[F]的距离[CF=c-c3=2c3].

根据题意有[CFFF1=2c32c=DFMF]，

则[MF1=b]，[CD]与[MF1]平行，且[MF⊥MF1].

即[FM2+MF12=F1F2]，[4c2=（2a+b）2+b2]，化简得，[b=2a].

答案 D

点评 涉及椭圆（或双曲线）两焦点距离的问题或焦点弦问题，可通过线段比例转化为椭圆（或双曲线）的定义.

数形结合在函数中的应用

1. 利用数形结合解决与曲线交点有关的问题

例4 已知函数[y=x3-3x+c]的图象 与[x]轴恰有两个公共点，则[c=]（ ）

A.[-2]或2 B.[-9]或3

C.[-1]或1 D.[-3]或1

解析 若函数图象与[x]轴有两个不同的交点，则满足其中一个为零即可. 因为三次函数的图象与[x]轴恰有两个公共点，结合该函数的图象可知，只有在极大值点或者极小值点在[x]轴时满足要求.

∵[y=x3-3x+c]，∴[y=3x2-3=3（x+1）（x-1）.]

∴当[x=±1]时，函数取得极值. 故[c=±2].

答案 A

点评 方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题得到简化. 合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.

2. 利用数形结合解决抽象函数问题

例5 设[f（x），g（x）]分别是定义在[R]上的奇函数和偶函数，在区间[[a，b]（a0]，且[f（x）?g（x）]有最小值-5. 则函数[y=f（x）?g（x）]在区间[[-b，-a]]上（ ）

A. 增函数，有最小值-5

B. 减函数，有最小值-5

C. 增函数，有最大值5

D. 减函数，有最大值5

解析 [∵f（x）g（x）+f（x）g（x）>0][=f（x）?g（x）′>0].

∴[y=f（x）?g（x）]在区间[[a，b]（a

∵[f（x），g（x）]分别是定义在[R]上的奇函数和偶函数，

∴[y=f（x）?g（x）]是奇函数.

因此它的图象关于原点对称，作出示意图易知，函数[y=f（x）?g（x）]在区间[[-b，-a]]上是增函数且有最大值5.

答案 C

点评 抽象函数问题是近几年高考中经常出现的问题，是高考中的难点. 利用数形结合能使我们找到解决此类问题的捷径.

数形结合在复数中的应用

例6 已知复数[z]满足[z-2-2i=2]，求[z]的模的范围.

解析 由于[z-2-2i=z-（2+2i）]，有明显的几何意义，它表示复数[z]对应的点到复数[2+2i]对应的点之间的距离.

因 此满足[z-2-2i=2]的复数[z]对应点[Z]在以[（2，2）]为圆心、半径为[2]的圆上；而[z]表示复数[z]对应的点[Z]到原点[O]的距离.

显然当点[Z]、圆心、点[O]三点共线时，[z]取得最值，[zmin=2，zmax=32.]

[∴|z|的取值范圍为[2，32]].

点评 在求解一些关于复数的题目中，经常利用复数的模的几何意义来求解. [z]表示复数[z]对应的点[Z]到原点[O]的距离；[z-z1]表示复数[z]和[z1]对应的点[Z]和[Z1]两点的距离；[z]=1表示单位圆[x2+y2=1]；[z-z1]=[z-z2]表示复数[z1]和[z2]两点的连线的垂直平分线.